Question

如圖1，在?ABCD中，AD=a，AB=a，a為定值，線段AD繞著點A旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時∠DAB為銳角，經(jīng)過A、D、B三點的圓⊙O和邊CD相交于點F，點F不與點D重合．
（1）求∠DAB的范圍；
（2）如果AD旋轉(zhuǎn)到使得AB剛好成為⊙O的直徑（如圖2所示），請你驗證此時∠DAB的度數(shù)在第（1）問所求的范圍內(nèi)，并證明：此時點F恰好是DC的一個三等分點．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DB，當(dāng)F與D重合時，即CD與圓相切，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出∠DAB=∠DBA，求出等腰三角形DAB，求出∠DAB的度數(shù)即可；
（2）求出cos∠DAB的值，即可推出∠DAB的大小；根據(jù)CD和CF的長，根據(jù)DF=CD-CF，代入求出即可．
解答：（1）解：連接DB，
當(dāng)F與D重合時，此時CD與圓相切．
∴∠CDB=∠DAB，
∵平行四邊形ABCD，
∴CD∥AB，
∴∠CDB=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴△ADB是等腰三角形，底為根號a，腰為a
∴cos∠DAB==，
∴∠DAB=30°，
即∠DAB的范圍為：30°＜∠DAB＜90°．

（2）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴⊙O的半徑r=AB=a
∵∠ADB=90°，
∴cos∠DAB===，
∴∠DAB在30°＜∠DAB＜90°的范圍內(nèi)．
∵DF=AB=2AE=AB-2ADcos∠DAB=a-2a×=a=AB=CD，
∴此時點F恰好是DC的一個三等份點．
點評：本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，平行線的性質(zhì)等知識點，此題綜合性比較強，對學(xué)生有較高的要求．