Question

3．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AD平分∠BAC，交BC于點E，AB=6，AD=5，則AE的長為$\frac{14}{5}$．

Answer 1

分析 連接BD、CD，由勾股定理先求出BD的長，再利用△ABD∽△BED，得出$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DB}{AD}$，可解得DE的長，由AE=AD-DE求解即可得出答案．

解答 解：如圖，

連接BD、CD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD=BD=$\sqrt{11}$，
∴∠CBD=∠DAB，
在△ABD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠EBD}\\{∠ADB=∠BDE}\end{array}\right.$，
∴△ABD∽△BED，
∴$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DB}{AD}$，
即$\frac{DE}{\sqrt{11}}$=$\frac{\sqrt{11}}{5}$，
解得DE=$\frac{11}{5}$，
∴AE=AD-DE=$\frac{14}{5}$．
故答案為：$\frac{14}{5}$．

點評 此題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，及圓周角定理，解答此題的關(guān)鍵是得出△ABD∽△BED，進一步利用性質(zhì)解決問題．