Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交BC于E，過C、E、D三點作圓交AE于G，CD、AE交于F點．求證：AG=FG．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：連接DG．∵D、G、C、E四點共圓，∴∠BCD=∠DGE． ∵∠BCA=90°，且CD⊥AB，∴∠BCD=∠BAC． 即∠BAC=∠DGE．∵∠DGE=∠DAG＋∠GDA， ∴∠BAC=∠DAG＋∠GDA，∴AE平分∠BAC，∴∠DAE=∠BAC，∴∠DAG=∠GDA． ∵AG=GD．∵CD⊥AB，∴∠DFA＋∠A=90°． ∵∠ADG＋∠GDF=90°，∴∠GDF=∠DFG． ∴GD=GF，∴AG=GF．

提示：

要證明結(jié)論AG=GF成立，即G是AF的中點．因∠CDA是直角，那么AF是斜邊．這時只能借助斜邊的中線溝通它們之間的關(guān)系．但因連接DG后構(gòu)成兩個頂角是鄰補角的等腰三角形，所以必須溝通它們之間的角的關(guān)系，這樣圓內(nèi)接四邊形的作用就顯現(xiàn)出來．因此要很好地體會圓內(nèi)接四邊形的作用，它溝通了圓內(nèi)、外圖形的關(guān)系．