Question

2．如圖，△ABC中．∠B=22.5°，AB的垂直平分線交AB于點Q，交BC于點P，PE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，AD交PE于點F．求證：DF=DC．

Answer 1

分析 根據線段的垂直平分線的性質得出BP=AP，根據等邊對等角得出∠BAP=∠B=22.5°，得出∠APD=45°，從而得出△APD是等腰直角三角形，得出AD=DP，然后根據ASA求得△DFP≌△DCA，即可證得DF=DC．

解答 證明：連接AP，
∵PQ垂直平分AB，
∴BP=AP，
∴∠BAP=∠B=22.5°，
∴∠APD=45°，
∵PE⊥AC，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴AD=PD，
∵PE⊥AC，AD⊥BC，
在△DFP和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FPD=∠DAC}\\{PD=AD}\\{∠PDF=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△DFP≌△DCA（ASA），
∴DF=DC．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質，等腰三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點的綜合運用，解答本題的關鍵是利用ASA證明△DFP≌△DCA．