Question

如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，分別以四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，作半徑為1的圓弧，則圖中陰影部分的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：面積及等積變換

專題：計(jì)算題

分析：圖中陰影部分可分為四個(gè)相同的弓形和一個(gè)小正方形，先求出弓形AB的面積過(guò)A點(diǎn)作邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊的垂線，垂足為Q，作AH⊥OB于H，由OQ=

1

2

，OA=1則∠OAQ=30°，根據(jù)直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠1=30°，同理可得∠2=30°，得到∠AOB=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到AH=

1

2

OA=

1

2

，OH=

3

AH=

3

2

，再根據(jù)三角形面積公式和扇形的面積公式可計(jì)算出S_△OAB=

1

4

，S_扇形OAB=

π

12

，則S_弓形AB=S_扇形OAB-S_△OAB=

π

12

-

1

4

，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB²=BH²+AH²=（1-

3

2

）²+（

1

2

）²=2-

3

，則可得到S_{正方形ABCD}=2-

3

，最后利用圖中陰影部分的面積=4S_弓形AB+S_{正方形ABCD}進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：圖中陰影部分可分為四個(gè)相同的弓形和正方形ABCD，如圖，
如圖，過(guò)A點(diǎn)作邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊的垂線，垂足為Q，作AH⊥OB于H，
∵OQ=

1

2

，OA=1，
∴∠OAQ=30°，
∴∠1=30°，
同理可得∠2=30°，
∴∠AOB=30°，
∴AH=

1

2

OA=

1

2

，OH=

3

AH=

3

2

，
∴S_△OAB=

1

2

×AH×OB=

1

4

，S_扇形OAB=

30•π•12

360

=

π

12

，
∴S_弓形AB=S_扇形OAB-S_△OAB=

π

12

-

1

4

，
在Rt△ABH中，BH=OB-OH=1-

3

2

，AH=

1

2

，
∴AB²=BH²+AH²=（1-

3

2

）²+（

1

2

）²=2-

3

，
∴S_{正方形ABCD}=2-

3

，
∴圖中陰影部分的面積=4S_弓形AB+S_{正方形ABCD}=4×（

π

12

-

1

4

）+2-

3

=1-

3

+

π

3

．
故答案為1-

3

+

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面積及等積變換：把不規(guī)則的幾何圖形的面積計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何圖形的面積的和或差；掌握扇形的面積公式以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系．