Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（3，0），B（0，4）兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，在線段AB上沿A→B的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD⊥y于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．

（1）求二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的表達(dá)式；
（2）連接BC，當(dāng)t= 時(shí)，求△BCP的面積；
（3）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從O出發(fā)，在線段OA上沿O→A的方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接DQ，PQ，將△DPQ沿直線PC折疊得到△DPE．在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△DPE和△OAB重合部分的面積為S，直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系及t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（3，0），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c中得：

解得 ，

∴二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的表達(dá)式為：y=﹣x2+ x+4

（2）

解：如圖1，

當(dāng)t= 時(shí)，AP=2t，

∵PC∥x軸，

∴ ，

∴ ，

∴OD= = × = ，

當(dāng)y= 時(shí)， =﹣x2+ x+4，

3x2﹣5x﹣8=0，

x1=﹣1，x2= ，

∴C（﹣1， ），

由 得 ，

則PD=2，

∴S△BCP= ×PC×BD= ×3× =4

（3）

解：如圖3，

當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，

由（2）得OD=QM=ME= ，

∴EQ= ，

由折疊得：EQ⊥PD，則EQ∥y軸

∴ ，

∴ ，

∴t= ，

同理得：PD=3﹣ ，

∴當(dāng)0≤t≤ 時(shí)，S=S△PDQ= ×PD×MQ= ×（3﹣ ）× ，

S=﹣ t2+ t；

當(dāng) ＜t≤2.5時(shí)，

如圖4，

P′D′=3﹣ ，

點(diǎn)Q與點(diǎn)E關(guān)于直線P′C′對(duì)稱，則Q（t，0）、E（t， ），

∵AB的解析式為：y=﹣ x+4，

D′E的解析式為：y= x+ t，

則交點(diǎn)N（ ， ），

∴S=S△P′D′N= ×P′D′×FN= ×（3﹣ ）（ ﹣ ），

∴S= t2﹣ t+ ．

【解析】（1）直接將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入列方程組解出即可；（2）如圖1，要想求△BCP的面積，必須求對(duì)應(yīng)的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD，PC是利用點(diǎn)P和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)求出，要注意符號(hào)；（3）分兩種情況討論：①△DPE完全在△OAB中時(shí)，即當(dāng)0≤t≤ 時(shí)，如圖2所示，重合部分的面積為S就是△DPE的面積；②△DPE有一部分在△OAB中時(shí)，當(dāng) ＜t≤2.5時(shí)，如圖4所示，△PDN就是重合部分的面積S．本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，并能利用方程組求出兩圖象的交點(diǎn)，把方程和函數(shù)有機(jī)地結(jié)合在一起，使函數(shù)問題簡(jiǎn)單化；同時(shí)考查了分類討論的思想，這一思想在二次函數(shù)中經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握；本題還與相似結(jié)合，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比來表示線段的長(zhǎng)．