Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+6過(guò)點(diǎn)A(6，0)，B(4，6)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖1，直線(xiàn)l的解析式為y=x，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與線(xiàn)段BC交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)H，連接OP，求△OPH的面積；

（3）把圖1中的直線(xiàn)y=x向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線(xiàn)y=x-4，如圖2，直線(xiàn)y=x-4與x軸交于點(diǎn)G．點(diǎn)P是四邊形ABCO邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)E，F．是否存在點(diǎn)P，使得以P，E，F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）S△OPH=8；（3）存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P坐標(biāo)為：（0，4）,（，）,（4，6）,（，6）．

【解析】

（1）把，代入解析式，求解即可；

（2）延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，則、均為等腰直角三角形，運(yùn)用計(jì)算即可；

（3）由于點(diǎn)可能在、、、、上，而等腰三角形本身又有三種情況，故分別討論與計(jì)算即可.

（1）∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+6過(guò)點(diǎn)A(6，0)，B(4，6)，

∴

（2）∵該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) ∴CP=2．

如圖1，延長(zhǎng)HP交y軸于點(diǎn)M，則△OMH、△CMP均為等腰直角三角形．

∴CM=CP=2，

∴OM=OC+CM=6+2=8． OH=MH=

S△OPH=S△OMH﹣S△OMP=

（3）存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P坐標(biāo)為：

（0，4）,（，）,（4，6）,（，6）．