Question

（2007•蕪湖）已知多邊形ABDEC是由邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC和正方形BDEC組成，一圓過A、D、E三點(diǎn)，求該圓半徑的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：作AF⊥BC，垂足為F，并延長(zhǎng)交DE于H點(diǎn)．根據(jù)其軸對(duì)稱性，則圓心必定在AH上．設(shè)其圓心是O，連接OD，OE．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，可以求得AH，DH的長(zhǎng)，設(shè)圓的半徑是r．在直角三角形BOH中，根據(jù)勾股定理列方程求解．
解答：解：
如圖2，作AF⊥BC，垂足為F，并延長(zhǎng)AF交DE于H點(diǎn)．（1分）
∵△ABC為等邊三角形，
∴AF垂直平分BC，
∵四邊形BDEC為正方形，
∴AH垂直平分正方形的邊DE．（3分）
又∵DE是圓的弦，
∴AH必過圓心，記圓心為O點(diǎn)，并設(shè)⊙O的半徑為r．
在Rt△ABF中，
∵∠BAF=30°，
∴AF=AB•cos30°=2×．
∴OH=AF+FH-OA=-r．（5分）
在Rt△ODH中，OH²+DH²=OD²．
∴（2+-r）²+1²=r²．
解得r=2．（7分）
∴該圓的半徑長(zhǎng)為2．（8分）
點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理．