Question

如圖稱為“趙爽弦圖”，它是由于四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．
（1）請說明正方形ABCD∽正方形EFGH；
（2）設(shè)∠BAF=α，是否存一個α值，使面積S_{正方形EFGH}=

1

2

S正方形ABCD？如果存在，請求sinα的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)它是由于四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形可以得到：∠BAD=∠FEH，∠ABC=∠EFG，∠BCD=∠FGH，∠CDA=∠GHE和AB=BC=CD=DA，EF=FG=GH=HE，進(jìn)而可以得到

EF

AB

=

FG

BC

=

GH

CD

=

HE

DA

，從而得到結(jié)論
（2）設(shè)AB=a，EF=x，據(jù)題意可以得到x2=

1

2

a2，即x=

1

2

a．然后再設(shè)BF=y，利用勾股定理可以得到（x+y）²+y²=a²，從而解得y=

6 - 2

4

a（負(fù)值舍去），然后得到sinα=

BF

AB

=

6 - 2

4

．

解答：解：（1）∵∠BAD=∠FEH，∠ABC=∠EFG，∠BCD=∠FGH，∠CDA=∠GHE，
又AB=BC=CD=DA，EF=FG=GH=HE，
∴

EF

AB

=

FG

BC

=

GH

CD

=

HE

DA

，∴正方形ABCD∽正方形EFGH．（4分）

（2）存在，設(shè)AB=a，EF=x，則由條件有x2=

1

2

a2，即x=

1

2

a．（6分）
又設(shè)BF=y，則有（x+y）²+y²=a²，
即(

2

2

a+y)2+y2=a2，
化簡得：2y2+

2

ay-

1

2

a2=0，（8分）
解得y=

6 - 2

4

a（負(fù)值舍去），（9分）∴sinα=

BF

AB

=

6 - 2

4

．（11分）

點(diǎn)評：本題考查了相似多邊形的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理的知識，是一道比較復(fù)雜的綜合題．