Question

10．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延長(zhǎng)AC到D，使CD=BC，點(diǎn)P是△ABD的內(nèi)心，則∠BPC=145°．

Answer 1

分析 由P為△ABD的內(nèi)心，得出P點(diǎn)必在∠BAC的角平分線上，由于AB=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知：P點(diǎn)必在BC的垂直平分線上，即BP=PC，△BPC也是等腰三角形，欲求∠BPC，必先求出∠PBC的度數(shù)．等腰△ABC中，已知了頂角∠A的度數(shù)，可求得∠ABC、∠ACB的度數(shù)；由于CB=CD，∠ACB是△ABC的外角，由此可求出∠D和∠CBD的度數(shù)；由于P是△ABD的內(nèi)心，則PB平分∠ABD，由此可求得∠PBD的度數(shù)，根據(jù)∠PBC=∠PBD-∠CBD可求出∠PBC的度數(shù)，由此得解．

解答 解：△ABC中，AB=AC，∠A=40°；
∴∠ABC=∠ACB=70°；
∵P是△ABD的內(nèi)心，
∴P點(diǎn)必在等腰△ABC底邊BC的垂直平分線上，
∴PB=PC，∠BPC=180°-2∠PBC；
在△CBD中，CB=CD，
∴∠CBD=∠D=$\frac{1}{2}$∠ACB=35°；
∵P是△ABD的內(nèi)心，
∴PB平分∠ABD，
∴∠PBD=$\frac{1}{2}$∠ABD=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠CBD）=52.5°，
∴∠PBC=∠PBD-∠CBD=52.5°-35°=17.5°；
∴∠BPC=180°-2∠PBC=145°．
故答案為：145°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；此題比較復(fù)雜，綜合性強(qiáng)，熟記三角形的內(nèi)心性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．