Question

【題目】問題提出：求n個相同的長方體（相鄰面的面積不相同）擺放成一個大長方體的表面積．

問題探究：探究一：

為了研究這個問題，同學(xué)們建立了如下的空間直角坐標系：空間任意選定一點O，以點O為端點，作三條互相垂直的射線ox、oy、oz．這三條互相垂直的射線分別稱作x軸、y軸、z軸，統(tǒng)稱為坐標軸，它們的方向分別為ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（豎直向上）方向．

將相鄰三個面的面積記為S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3的小長方體稱為單位長方體，現(xiàn)將若干個單位長方體在空間直角坐標系內(nèi)進行碼放，要求碼放時將單位長方體S1所在的面與x軸垂直，S2所在的面與y軸垂直，S3所在的面與z軸垂直，如圖1所示．

若將x軸方向表示的量稱為幾何體碼放的排數(shù)，y軸方向表示的量稱為幾何體碼放的列數(shù)，z軸方向表示的量稱為幾何體碼放的層數(shù)；如圖2是由若干個單位長方體在空間直角坐標系內(nèi)碼放的一個幾何體，其中這個幾何體共碼放了1排2列6層，用有序數(shù)組記作（1，2，6），如圖3的幾何體碼放了2排3列4層，用有序數(shù)組記作（2，3，4）．這樣我們就可用每一個有序數(shù)組（x，y，z）表示一種幾何體的碼放方式．

問題一：如圖4是由若干個單位長方體碼放的一個幾何體的三視圖，則這種碼放方式的有序數(shù)組為______．

組成這個幾何體的單位長方體的個數(shù)為______個．

探究二：

為了探究有序數(shù)組（x，y，z）的幾何體的表面積公式S（x，y，z），同學(xué)們針對若干個單位長方體進行碼

放，制作了下列表格

幾何體 有序數(shù)組	單位長方體的個數(shù)	表面上面積為S1的個數(shù)	表面上面積為S2的個數(shù)	表面上面積為S3的個數(shù)	表面積
（1，1，1）	1	2	2	2	2S1+2S2+2S3
（1，2，1）	2	4	2	4	4S1+2S2+4S3
（3，1，1）	3	2	6	6	2S1+6S2+6S3
（2，1，2）	4	4	8	4	4S1+8S2+4S3
（1，5，1）	5	10	2	10	10S1+2S2+10S3
（1，2，3）	6
……	……	……	……	……	……

問題二：請將上面表格補充完整：當單位長方體的個數(shù)是6時，表面上面積為S1的個數(shù)是______．

表面上面積為S2的個數(shù)是______；表面上面積為S3的個數(shù)是______；表面積為______．

問題三：根據(jù)以上規(guī)律，請寫出有序數(shù)組（x，y，z）的幾何體表面積計算公式S（x，y，z）=______（用x、y、z、S1、S2、S3表示）

探究三：

同學(xué)們研究了當S1=2，S2=3，S3=4時，用3個單位長方體碼放的幾何體中，有三種碼放的方法，有序數(shù)組分別為（1，1，3），（1，3，1），（3，1，1）．而S（1，1，3）=38，S（1，3，1）=42，S（3，1，1）=46．容易發(fā)現(xiàn)個數(shù)相同的長方體，由于碼放的方法不同，組成的幾何體的表面積就不同．

拓展應(yīng)用：

要將由20個相同的長方體碼放的幾何體進行打包，其中每個長方體的長是8，寬是5，高是6．為了節(jié)約外包裝材料，請直接寫出使幾何體表面積最小的有序數(shù)組，并寫出這個最小面積（不需要寫解答過程）．（縫隙不計）

Answer 1

【答案】（1）（1，2，3），6；（2）12，6，4，12S1+6S2+4S3；（3）2yzS1+2xzS2+2xyS3；拓展應(yīng)用：幾何體表面積最小的有序數(shù)組為（2，2，5），最小面積為S（2，2，5）=1786．

【解析】

（1）根據(jù)題中所給的標示法和圖4中主視圖知，擺放的長方體共有兩列三層，由左視圖知長方體共一排，則這種碼放方式的有序數(shù)組為（1，2，3）；組成這個幾何體的單位長方體的個數(shù)為6個；

（2）幾何體有序數(shù)組（1，2，3）時，表示幾何體碼放了1排2列3層，單位長方體的個數(shù)為6個，表面上面積為S1的個數(shù)為12個，表面上面積為S2的個數(shù)6個，表面上面積為S3的個數(shù)4個，表面積為：12S1+6S2+4S3；

（3）根據(jù)題意可知當有序數(shù)組（x，y，z）時，根據(jù)長方體的面積公式知，表面上面積為S1的個數(shù)為2yz個，表面上面積為S2的個數(shù)2xz個，表面上面積為S3的個數(shù)2xy個，該幾何體表面積計算公式S（x，y，z）=2yzS1+2xzS2+2xyS3

（4）拓展應(yīng)用：由題目中所給出的S1=2，S2=3，S3=4時，S（x，y，z）=2（yzS1+xzS2+xyS3）=2（2yz+3xz+4xy），分析出要使S（x，y，z）的值最小，應(yīng)滿足x≤y≤z（x、y、z為正整數(shù)），然后按條件將20分為：20=1×1×20、20=1×2×10、20=1×4×5、20=2×2×5四種形式，從面得出S（2，2，5）的值最小值為1786．

解：（1）根據(jù)如圖4中主視圖知，擺放的長方體共有兩列三層，由左視圖知長方體共一排，根據(jù)題中所給的標示法，則這種碼放方式的有序數(shù)組為（1，2，3）；

組成這個幾何體的單位長方體的個數(shù)為1×2×3=6（個）

故答案 （1，2，3），6

（2）由題意知，當幾何體有序數(shù)組（1，2，3）時，表示幾何體碼放了1排2列3層，單位長方體的個數(shù)為6個

∴表面上面積為S1的個數(shù)為12個，表面上面積為S2的個數(shù)6個，表面上面積為S3的個數(shù)4個，表面積為：12S1+6S2+4S3

故答案為：12，6，4，12S1+6S2+4S3；

（3）當有序數(shù)組（x，y，z）時，

表面上面積為S1的個數(shù)為2yz個，表面上面積為S2的個數(shù)2xz個，表面上面積為S3的個數(shù)2xy個，

∴該幾何體表面積計算公式S（x，y，z）=2yzS1+2xzS2+2xyS3

故答案2yzS1+2xzS2+2xyS3

拓展應(yīng)用：

當S1=2，S2=3，S3=4時，S（x，y，z）=2（yzS1+xzS2+xyS3）=2（2yz+3xz+4xy）

要使S（x，y，z）的值最小，不難看出x，y，z應(yīng)滿足x≤y≤z（x、y、z為正整數(shù)）

∵將相鄰三個面的面積記為S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3，其中每個長方體的長是8，寬是5，高是6

∴S1=30，S2=40，S3=48

∴滿足要求的組合有（1，1，20），（1，2，10），（1，4，5），（2，2，5）

∵S（1，1，20）=2×30×20+2×40×20+2×48=2896

S（1，2，10）=2×30×2×10+2×40×10+2×48×2=2192

S（1，4，5）=2×30×4×5+2×40×5+2×48×4=1984

S（2，2，5）=2×30×2×5+2×40×2×5+2×48×4=1786

∴S（2，2，5）的值最小

∴幾何體表面積最小的有序數(shù)組為（2，2，5），最小面積為S（2，2，5）=1786．