Question

8．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）交x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)E，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OB=3OA，連接AE，tan∠EAO=3，直線y=-2x-2交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若M是拋物線上不同于點(diǎn)A，點(diǎn)B的另一點(diǎn)，Q是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，求以A、B、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若P（x，y）（x＞0）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求使△PCD的面積最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PCD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)OB與OA的關(guān)系，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)平行于CD且與拋物線相切，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)面積的和差，可得答案．

解答 解：（1）由B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OB=3OA，得
A（1，0）．
由tan∠EAO=$\frac{EO}{AO}$=3，得
EO=3AO=3，即E（0，3）．
將A、B、E代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=x²-4x+3；
（2）如圖1，
設(shè)M（m，x²-4x+3），MQ=2-m．AB=3-1=2．
由四邊形ABQE是平行四邊形，得
EQ=AB，即2-m=2．
解得m=0，
當(dāng)m=0時(shí)，y=3，即M（0，3）；
如圖2，
設(shè)M（m，x²-4x+3），MQ=m-2．AB=3-1=2．
由四邊形ABQE是平行四邊形，得
EQ=AB，即m-2=2．
解得m=4，
當(dāng)m=4時(shí)，y=3，即M（4，3）；
綜上所述：以A、B、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)（0，3）或（4，3）；
（3）如圖3，
CD的解析式為y=-x-2，設(shè)平行CD與拋物線相切于P點(diǎn)的直線為y=-x+b，
聯(lián)立過P點(diǎn)的切線與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$，
x²-3x+3-b=0．
△=b²-4ac=（-3）²-4×（3-b）=0．
解得b=$\frac{3}{4}$．
當(dāng)b=$\frac{3}{4}$時(shí)，x²-3x+$\frac{9}{4}$=0，
解得x=$\frac{3}{2}$，y=-$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{4}$=-$\frac{3}{4}$，
即P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．
設(shè)CP的解析式為y=kx+b，將C、P點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=-\frac{3}{4}}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{14}}\\{b=-\frac{3}{7}}\end{array}\right.$，
CP的解析式為y=-$\frac{3}{14}$x-$\frac{3}{7}$，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{3}{7}$，即F（0，-$\frac{3}{7}$）．
CF=-$\frac{3}{7}$-（-2）=$\frac{11}{7}$．
S_△PCD最小=$\frac{1}{2}$PD（x_P-x_C）=$\frac{1}{2}$×$\frac{11}{7}$×[$\frac{3}{2}$-（-2）]=$\frac{11}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用平行四邊形的對(duì)邊相等得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏；利用平行于CD且與拋物線相切得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，利用面積的和差是求面積的關(guān)鍵．