Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中有不重合的兩個點Q（x1，y1）與P（x2，y2），若Q、P為某個直角三角形的兩個銳角頂點，且該直角三角形的直角邊均與x軸或y軸平行（或重合），則我們將該直角三角形的兩條直角邊的邊長之和稱為點Q與點P之間的“直距”，記作DPQ，特別地，當PQ與某條坐標軸平行（或重合）時，線段PQ的長即為點Q與點P之間的“直距”，例如在圖1中，點P（1，1），點Q（3，2），此時點Q與點P之間的“直距”DPQ＝3．

（1）①已知O為坐標原點，點A（2，－1），B（－2，0），則DAO＝________，DBO＝________．

②點C在直線y＝－x＋3上，請你求出DCO的最小值．

（2）點E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，點F是直線y＝2x＋4上一動點，請你直接寫出點E與點F之間“直距”DEF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①3，2；②最小值為3；（2）

【解析】

（1）①根據(jù)點Q與點P之間的“直距”的定義計算即可；

②如圖3中，由題意，當DCO為定值時，點C的軌跡是以點O為中心的正方形（如左邊圖），當DCO＝3時，該正方形的一邊與直線y＝－x＋3重合（如右邊圖），此時DCO定值最小，最小值為3；

（2）如圖4中，平移直線y＝2x＋4，當平移后的直線與⊙O在左邊相切時，設切點為E，作EF∥x軸交直線y＝2x＋4于F，此時DEF定值最��；

解：（1）①如圖2中，

觀察圖象可知DAO＝2＋1＝3，DBO＝2，

故答案為3，2．

②如圖3中，由題意，當DCO為定值時，點C的軌跡是以點O為中心的正方形（如左邊圖），

當DCO＝3時，該正方形的一邊與直線y＝－x＋3重合（如右邊圖），

此時DCO定值最小，最小值為3．

（2）如圖4中，

平移直線y＝2x＋4，當平移后的直線與⊙O在左邊相切時，設切點為E，作EF∥x軸交直線y＝2x＋4于F，此時DEF定值最小，

因為直線y＝2x＋4與x軸交于N（－2，0），平移后的直線交x軸于M（，0），

∴ON＝2，，

∴.