Question

已知：如圖，EB是⊙O的直徑，且EB=6．在BE的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使EP=EB．A是EP上一點(diǎn)，過(guò)A作⊙O的切線AD，切點(diǎn)為D．過(guò)D作DF⊥AB于F，過(guò)B作AD的垂線BH，交AD的延長(zhǎng)線于H．連接ED和FH．
（1）若AE=2，求AD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A在EP上移動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)E重合）時(shí)，
①是否總有？試證明你的結(jié)論；
②設(shè)ED=x，BH=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵AD切⊙O于D，AE=2，EB=6，
∴AD²=AE•AB=2×（2+6）=16．
∴AD=4．

（2）①無(wú)論點(diǎn)A在EP上怎么移動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)E重合），
總有
證明：連接DB，交FH于G．
∵AH是⊙O的切線，∴∠HDB=∠DEB．
又∵BH⊥AH，BE為直徑，
∴∠BDE=90°．
有∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH．
在△DFB和△DHB中，
DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，
DB=DB，∠DBE=∠DBH，
∴△DFB≌△DHB．
∴BH=BF．∴△BHF是等腰三角形．
∴BG⊥FH，即BD⊥FH．
∴ED∥FH，∴
②∵ED=x，BH=y，BE=6，BF=BH，
∴EF=6-y，
又∵DF是Rt△BDE斜邊上的高，
∴△DFE∽△BDE，
∴
即ED²=EF•EB．
∴x²=6（6-y）即y=-x²+6
∴ED=x＞0，
當(dāng)A從E向左移動(dòng)，ED逐漸增大，
當(dāng)A和P重合時(shí)，ED最大，
這時(shí)，連接OD，則OD⊥PH，
∴OD∥BH．
又PO=PE+EO=6+3=9，PB=12，
，BH=
∴BF=BH=4，EF=EB-BF=6-4=2．
由ED²=EF•EB，得：x²=2×6=12，
∵x＞0，∴x=2，
∴0＜x≤2，
[或由BH=4=y，代入y=-x²+6中，得x=2]
故所求函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+6（0＜x≤2）．
分析：（1）由于AD是⊙O的切線，并且已知AE、BE的長(zhǎng)，即可由切割線定理求得AD的長(zhǎng)．
（2）①欲證所求的比例式，只需證得DE∥FH即可．連接BD，設(shè)BD與FH的交點(diǎn)為G，由于HD切⊙O于D，根據(jù)弦切角定理知∠HDB=∠DEB，在Rt△DEB中，易證得∠DEB=∠FDB，則∠FDB=∠HDB，即可證得△DFB≌△DHB，由此可得BH=BF，即△BFH是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證得BD⊥FH，而B(niǎo)D⊥DE，則FH∥DE，由此得證．
②由于BH=BF，根據(jù)EB的長(zhǎng)，可用y表示出EF的值，進(jìn)而在Rt△DEB中，根據(jù)射影定理得到y(tǒng)、x的函數(shù)關(guān)系式；求x的取值范圍時(shí)，只需考慮x的最大值即可，當(dāng)A、P重合時(shí)，若連接OD，則OD⊥PH，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可求得BH的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到BF、EF的值，然后根據(jù)射影定理即可求得DE的長(zhǎng)，由此求得x的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)、弦切角定理、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)；（2）①中，能夠構(gòu)造出與所求相關(guān)的全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．