Question

如圖，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，⊙O直徑AB為10cm，∠ACB的平分線交⊙O于D．
（1）若弦AC為6cm，求BC、AD的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷點(diǎn)D是否隨著點(diǎn)C的變化而變化？若改變，設(shè)AC=x，AD=y，請(qǐng)建立y與x的關(guān)系式；若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：綜合題

分析：（1）連接OD，由AB是⊙O的直徑得∠ACB=90°，然后運(yùn)用勾股定理就可求出BC長(zhǎng)；根據(jù)圓周角定理可得∠AOD=2∠ACD=90°，在Rt△AOD中運(yùn)用勾股定理就可求出AD長(zhǎng)．
（2）在（1）中已證到∠AOD=∠BOD=90°，根據(jù)“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等”可得

AD

=

BD

，即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）連接OD，如圖所示．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵AB=10，AC=6，
∴BC=8．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=

1

2

∠ACB=45°．
∴∠AOD=2∠ACD=90°，∠BOD=2∠BCD=90°．
在Rt△AOD中，
AD=

AO2+OD2

=

52+52

=5

2

．
∴BC的長(zhǎng)為8cm、AD的長(zhǎng)為5

2

cm．

（2）當(dāng)點(diǎn)C在上半圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D不變，在下半圓的中點(diǎn)．
理由如下：
∵∠AOD=∠BOD=90°（已證），
∴

AD

=

BD

．
∴點(diǎn)D是下半圓的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、勾股定理、圓心角與圓弧的關(guān)系、角平分線的定義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．