Question

15．從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．
（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數．
（3）如圖2，△ABC中，AC=2，BC=$\sqrt{2}$，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據完美分割線的定義只要證明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．
（2）分三種情形討論即可①如圖2，當AD=CD時，②如圖3中，當AD=AC時，③如圖4中，當AC=CD時，分別求出∠ACB即可．
（3）設BD=x，利用△BCD∽△BAC，得$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD為等腰三角形，
∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割線．
（2）①當AD=CD時，如圖2，∠ACD=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②當AD=AC時，如圖3中，∠ACD=∠ADC=$\frac{180°-48°}{2}$=66°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③當AC=CD時，如圖4中，∠ADC=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍棄．
∴∠ACB=96°或114°．
（3）由已知AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，設BD=x，
∴（$\sqrt{2}$）²=x（x+2），
∵x＞0，
∴x=$\sqrt{3}$-1，
∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$×2=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會分類討論思想，屬于中考常考題型．