Question

3．在直角坐標系xOy中，拋物線y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C連接AC，BC．
（1）求∠ACO的正弦值．
（2）如圖1，D為第一象限內(nèi)拋物線上一點，記點D橫坐標為m，作DE∥AC交BC于點E，DH∥y軸交于BC于點H，請用含m的代數(shù)式表示線段DE的長，并求出當CH：BH=2：1時線段DE的長．
（3）如圖2，P為x軸上一動點（P不與點A、B重合），作PM∥BC交直線AC于點M，連接CP，是否存在點P使S_△CPM=2？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線解析式求出點A、C坐標，求出線段OA、AC長度，即可求出∠ACO的正弦值；
（2）首先設出點D坐標，寫出點H坐標，利用相似三角形比例關系可求出線段DE的長，根據(jù)CH：BH=2：1，求出線段DE的長；
（3）設出點P坐標，寫出直線PM解析式，表示出點M、及與y軸交點坐標，利用三角形面積求出點P坐標．

解答 解（1）令x=0，y=4，
∴C（0，4），OC=4，
令y=0，x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），OA=1，
∴AC=$\sqrt{16+1}$=$\sqrt{17}$，
sin∠ACO=$\frac{OA}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$．

2）如圖1，

∵DE∥AC，
∴∠1+∠2=∠3=∠4+∠5，
∵DH∥y軸，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠5，
∴OA：OC=EM：DM，
過點E作EM⊥DH，垂足為M，
設點D（m，-$\frac{4}{3}$m²+$\frac{8}{3}$m+4），
直線BC：y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴H（m，-$\frac{4}{3}$m+4），
∴DH=-$\frac{4}{3}$m²+4m，
設EM=x，則DM=4x，
∠MEH=∠B，
∴HM=$\frac{4}{3}$x，DH=$\frac{4}{3}$x+4x=$\frac{16}{3}$x，
∴x=$\frac{3DH}{16}$，
∴DE=$\sqrt{17}$x=$\frac{3\sqrt{17}DH}{16}$=$\frac{3\sqrt{17}}{16}$（-$\frac{4}{3}$m²+4m）=-$\frac{\sqrt{17}}{4}$m²+$\frac{3\sqrt{17}}{4}$m，
當CH：BH=2：1時，
延長DH至點K，則OK：KB=2：1，
OK=2，
∴m=2．
∴DE=-$\sqrt{17}$+$\frac{3\sqrt{17}}{2}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$．

（3）P（1，0）、（2$\sqrt{2}$+1，0）、（1-2$\sqrt{2}$，0）．
直線BC解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x+4，
直線AC解析式為：y=4x+4，
∵作PM∥BC交直線AC于點M，
∴設PM直線解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+b，
∴P（$\frac{3b}{4}$，0）
聯(lián)立直線AC，求得M（$\frac{3b-12}{16}$，$\frac{3b+4}{4}$），
當點P在線段AB上時，如圖：

∴S_△CPM=$\frac{1}{2}$×CN×（$\frac{3b}{4}$-$\frac{3b-12}{4}$）=2
∴$\frac{1}{2}$×（4-b）×（$\frac{3b}{4}$-$\frac{3b-12}{16}$）=2
解得：b=$\frac{4}{3}$，
∴P（1，0）；
當點P在線段AB上，
連接CP，是否存在點P使S_△CPM=2
當點P在線段AB延長線上時，如圖：

同理：P（$\frac{3b}{4}$，0），M（$\frac{3b-12}{16}$，$\frac{3b+4}{4}$），
做CQ⊥y軸，Q（$\frac{3b-12}{4}$，4）
∴S_△CPM=$\frac{1}{2}$×CQ×$\frac{3b-12}{4}$=2
解得：b=$\frac{8\sqrt{2}+4}{3}$，
∴P（2$\sqrt{2}$+1，0）．
當點P在線段BA延長線上時，如圖：

同理：P（$\frac{3b}{4}$，0），M（$\frac{3b-12}{16}$，$\frac{3b+4}{4}$），
∴S_△CPM=$\frac{1}{2}$×PA×（4-$\frac{3b+4}{4}$）=2
解得：b=$\frac{4-8\sqrt{2}}{3}$，
∴P（1-2$\sqrt{2}$，0）．
綜上所述：P（1，0）、（2$\sqrt{2}$+1，0）、（1-2$\sqrt{2}$，0）．

點評 題目考查了二次函數(shù)綜合應用，考查知識點包括一次函數(shù)二次函數(shù)解析式求解、相似三角形、三角形面積求解等知識點，題目整體較難，適合學生進行中考二次函數(shù)壓軸訓練．