Question

使得函數(shù)值為0的自變量的值稱為函數(shù)的零點(diǎn)．例如，對于函數(shù)y=x-1，令y=0可得x=1，我們說1是函數(shù)y=x-1的零點(diǎn)．已知函數(shù)y=x²-2mx-2（m+3）（m為常數(shù)）
（1）當(dāng)m=0時(shí)，求該函數(shù)的零點(diǎn)．
（2）證明：無論m取何值，該函數(shù)總有兩個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

（1）解：當(dāng)m=0時(shí)，令y=0，則x²-6=0，
解得x=±，
所以，m=0時(shí)，該函數(shù)的零點(diǎn)為±；

（2）證明：令y=0，則x²-2mx-2（m+3）=0，
△=b²-4ac=（-2m）²-4×1×2（m+3），
=4m²+8m+24，
=4（m+1）²+20，
∵無論m為何值時(shí)，4（m+1）²≥0，
∴△=4（m+1）²+20＞0，
∴關(guān)于x的方程總有不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即，無論m取何值，該函數(shù)總有兩個(gè)零點(diǎn)．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的定義，當(dāng)m=0時(shí)，令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得解；
（2）令y=0，然后利用根的判別式列式，然后整理成完全平方式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷出△＞0，從而確定出有兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，主要利用了拋物線與x軸的交點(diǎn)的求解方法，根的判別式的應(yīng)用，讀懂題目信息，理解函數(shù)零點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．