Question

如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)（，3），AB⊥x軸，垂足為B，連接OA，反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象與線段OA、AB分別交于C、D兩點(diǎn)，若AB=3BD．以C點(diǎn)為圓心，2CA長(zhǎng)為半徑作圓C．
（1）求k的值；
（2）求點(diǎn)C坐標(biāo)；
（3）判斷⊙C與x軸的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A（，3），AB=3BD求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，故可得出k的值；
（2）由（1）中k的值求出反比例函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)法求出直線OA的解析式，把反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式組成方程組即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由（2）中C點(diǎn)坐標(biāo)可求出點(diǎn)C與x軸的距離及CA的長(zhǎng)，由圓與直線的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）∵A（，3），
∴AB=3，
∵AB=3BD，
∴BD=AB=×3=1，
∴D（，1）
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象上，
∴1=，解得k=；

（2）∵k=，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=，
設(shè)直線OA的解析式為y=kx，
∵A的坐標(biāo)（，3），
∴k=3，解得k=，
∴直線OA的解析式為y=x，
∴，解得x=1或x=-1（舍去），
∴C（1，）；

（3）∵C（1，），
∴點(diǎn)C到x軸的距離為，
∵A（，3），
∴OA=2，OC=2，
∴CA=OA-OC=2-2，
∴2CA=4-4，
∵4-4-=3-4＞0，
∴⊙C與x軸相交．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，難度適中．