Question

12．閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC邊上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足為E，求證：BC=2AE．
小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為F，得到∠AFB=∠BEA，從而可證△ABF≌△BAE（如圖2），使問題得到解決．
（1）根據(jù)閱讀材料回答：△ABF與△BAE全等的條件是AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一個(gè)）
參考小明思考問題的方法，解答下列問題：
（2）如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，E為DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的長(zhǎng)；
（3）如圖4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，且AD=kDB（其中0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$），∠AED=∠BCD，求$\frac{AE}{EC}$的值（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）作AF⊥BC，判斷出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF=AE，即可；
（2）先求出tan∠DAE=$\frac{1}{2}$，再由tan∠F=tan∠DAE，求出CG，最后用△DCG∽△ACE求出AC；
（3）構(gòu)造含30°角的直角三角形，設(shè)出DG，在Rt△ABH，Rt△ADN，Rt△ABH中分別用a，k表示出AB=2a（k+1），BH=$\sqrt{3}$a（k+1），BC=2BH=2$\sqrt{3}$a（k+1），CG=$\sqrt{3}$a（2k+1），DN=$\sqrt{3}$ka，最后用△NDE∽△GDC，求出AE，EC即可．

解答 證明：（1）如圖2，

作AF⊥BC，
∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，
在△ABF和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠BEA}\\{∠DAB=∠ABD}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△BAE（AAS），
∴BF=AE
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC，
∴BC=2AE，
故答案為AAS
（2）如圖3，

連接AD，作CG⊥AF，
在Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，
∴AD=CD，
∵點(diǎn)E是DC中點(diǎn)，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AD，
∴tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{\frac{1}{2}CD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，
∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴∠F+∠EAC=45°，
∵∠DAE+∠EAC=45°，
∴∠F=∠DAE，
∴tan∠F=tan∠DAE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CG}{CF}=\frac{1}{2}$，
∴CG=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，
∴∠DCG=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴△DCG∽△ACE，
∴$\frac{DC}{AC}=\frac{CG}{CE}$，
∵CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$AC，
∴$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}AC}{AC}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}AC}$，
∴AC=4；
∴AB=4；
（3）如圖4，

過點(diǎn)D作DG⊥BC，設(shè)DG=a，
在Rt△BGD中，∠B=30°，
∴BD=2a，BG=$\sqrt{3}$a，
∵AD=kDB，
∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），
過點(diǎn)A作AH⊥BC，
在Rt△ABH中，∠B=30°．
∴BH=$\sqrt{3}$a（k+1），
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=2$\sqrt{3}$a（k+1），
∴CG=BC-BG=$\sqrt{3}$a（2k+1），
過D作DN⊥AC交CA延長(zhǎng)線與N，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAN=60°，
∴∠ADN=30°，
∴AN=ka，DN=$\sqrt{3}$ka，
∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，
∴△NDE∽△GDC．
∴$\frac{DN}{DG}=\frac{NE}{CG}$，
∴$\frac{\sqrt{3}ka}{a}=\frac{NE}{\sqrt{3}a（2k+1）}$，
∴NE=3ak（2k+1），
∵AN=ka，
∴AE=NE-AN=2ak（3k+1），
∴EC=AC-AE=AB-AE=2a（k+1）-2ak（3k+1）=2a（1-3k²），
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{2ak（3k+1）}{2a（1-3{k}^{2}）}$=$\frac{3{k}^{2}+k}{1-3{k}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，也是本題的難點(diǎn)．