Question

在直角坐標系xOy中，已知點P是反比例函數(shù)y=

2 3

x

（x＞0）圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A．
（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．
（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設交點為B，C．當四邊形ABCP是菱形時：
①求出點A，B，C的坐標．
②在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的

1

2

？若存在，試求出所有滿足條件的M點的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

（1）四邊形OKPA是正方形．
證明：∵⊙P分別與兩坐標軸相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四邊形OKPA是矩形．
又∵AP=KP，
∴四邊形OKPA是正方形．（2分）

（2）①連接PB，設點P的橫坐標為x，則其縱坐標為

2 3

x

．
過點P作PG⊥BC于G．
∵四邊形ABCP為菱形，
∴BC=PA=PB=PC（半徑）．
∴△PBC為等邊三角形．
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG=

2 3

x

．
sin∠PBG=

PG

PB

，即

3

2

=

2 3 x

x

．
解之得：x=±2（負值舍去）．
∴PG=

3

，PA=BC=2．（4分）
易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3．
∴A（0，

3

），B（1，0），C（3，0）．（6分）
設二次函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c．
據(jù)題意得：

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c= 3

解之得：a=

3

3

，b=-

4 3

3

，c=

3

．
∴二次函數(shù)關系式為：y=

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

．（9分）

②解法一：設直線BP的解析式為：y=ux+v，據(jù)題意得：

u+v=0 2u+v= 3

解之得：u=

3

，v=-

3

．
∴直線BP的解析式為：y=

3

x-

3

，
過點A作直線AM∥BP，則可得直線AM的解析式為：y=

3

x+

3

．
解方程組：

y= 3 x+ 3 y= 3 3 x2- 4 3 3 x+ 3

得：

x1=0 y1= 3

；

x2=7 y2=8 3

．
過點C作直線CM∥PB，則可設直線CM的解析式為：y=

3

x+t．
∴0=3

3

+t．
∴t=-3

3

．
∴直線CM的解析式為：y=

3

x-3

3

．
解方程組：

y= 3 x-3 3 y= 3 3 x2- 4