Question

如圖所示，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是BC的中點(diǎn)，E是BC上任意一點(diǎn)，EP⊥BD于點(diǎn)P，EQ⊥AC于點(diǎn)Q，連接MP和MQ，試說明MP=MQ．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接OM，求出∠PBM=∠QOM，OM=BM，OQ=PE=PB，證明△OPM≌△QCM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可．

解答：解：
連接OM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴OM=BM=CM，∠OBC=○OCB=45°=∠COM=∠BOM，∠OMB=90°，
∵∠BOC=90°，EQ⊥OC，EP⊥OB，
∴∠QOP=∠OPE=∠OQE=90°，
∴四邊形OPEQ是矩形，
∴OQ=PE，∠OPE=90°，
∴∠BPE=90°，
∵∠PBC=45°，
∴∠PBE=∠PEB=45°，
∴BP=PE=OQ，
在△PBM和△QOM中

BP=OQ ∠PBM=∠QOM=45° BM=OM

∴△PBM≌△QOM，
∴MP=MQ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．