Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c 交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線x=1，已知：A（-1，0）、C（0，-3）．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c 的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面積比；
（3）若點P在對稱軸上，求AP+CP的最小值．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）根據(jù)交點式得出y=a（x-3）（x+1），將C（0，-3）代入求出a即可得出這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)面積公式即可求得．
（3）根據(jù)拋物線的對稱性求出點B的坐標，作直線BC，由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小，然后根據(jù)勾股定理求得．

解答：解：（1）∵對稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過A（-1，0），
∴點B（3，0），
設(shè)y=a（x-3）（x+1），把C（0，-3）代入
解得：a=1，
故解析式為：y=x²-2x-3；

（2）依題意，得OA=1，OB=3，
∴S_△AOC：S_△BOC=

1

2

OA•OC：

1

2

OB•OC=OA：OB
=1：3．

（3）如圖，連接BC，交對稱軸于點P，連接AP
∵點A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點是點B（3，0）
∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最�。�
在RT△BOC中，OC=3，OB=3；
∴BC=

OC2+OB2

=3

2

；
∴AP+CP的最小值為 3

2

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）中判斷出點P的位置是解題的關(guān)鍵．