Question

如圖，已知四邊形ABCD，AE交BC的延長(zhǎng)線于E、交邊DC于F，△ADF與△FCE全等．
（1）若AB=2，AD=1，AE=2

3

，∠BAE=90°，求邊BC的長(zhǎng)；
（2）若∠DAB+∠DCB=180°，求證：∠B=∠DCB．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CE=AD=1，再利用勾股定理計(jì)算出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而得到BC的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)∠DAB+∠DCB=180°，∠DCE+∠DCB=180°可得∠DAB=∠DCE，再說(shuō)明∠ADF=∠FCE可得AD∥BE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DAB+∠B=180°，進(jìn)而得到∠B=∠DCB．

解答：（1）解：∵△ADF與△FCE全等，∠AFD=∠CFE，
∴CE=AD=1．
∵∠BAE=90°，
在直角三角形ABE中，
BE=

AE2+AB2

=

12+4

=4．
∴BC=BE-CE=4-1=3．

（2）證明：∵∠DAB+∠DCB=180°，∠DCE+∠DCB=180°，
∴∠DAB=∠DCE．
∴∠DAF≠∠DCE．
又∵△ADF與△FCE全等，∠AFD=∠CFE，
∴∠ADF=∠FCE．
∴AD∥BE，
∴∠DAB+∠B=180°，
∴∠B=∠DCB．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握全等三角形對(duì)應(yīng)角相等．