某數(shù)學興趣小組開展了一次活動，過程如下：
設∠BAC=（0°＜＜90°）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB，AC上.
活動一：
如圖甲所示，從點A₁開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直，A₁A₂為第1根小棒.
數(shù)學思考：
（1）小棒能無限擺下去嗎？答：         .(填“能”或“不能”)
（2）設AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1.
①=_________度；
②若記小棒A_2n-1A_2n的長度為a_n（n為正整數(shù)，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…）求出此時a₂，a₃的值，并直接寫出a_n（用含n的式子表示）.

已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交線段AB于點E．
(1)如圖l，當∠ACB=90⁰時，則線段DE、CE之間的數(shù)量關系為
(2)如圖2，當∠ACB=120⁰時，求證：DE=3CE：
(3)如圖3，在(2)的條件下，點F是BC邊的中點，連接DF，DF與AB交于G，△DKG和△DBG關于直線DG對稱(點B的對稱點是點K，延長DK交AB于點H．若BH=10，求CE的長
  

（2011湖南衡陽，21，6分）如圖，在△ABC中，AD是中線，分別過點B、C作AD及其延長線的垂線BE、CF，垂足分別為點E、F．求證：BE=CF．

（8分）如圖，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D為AC邊上中點，過D
點作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE＝4，F(xiàn)C＝3，求EF長．

（11·臺州）(12分)如圖1，AD和AE分別是△ABC的BC邊上的高和中線，
點D是垂足，點E是BC的中點，規(guī)定：．特別地，當點D、E重合時，規(guī)定：λ_A
＝0．另外，對λ_B、λ_C作類似的規(guī)定．

(1)如圖2，在△ABC中，∠C＝90º，∠A＝30º，求λ_A、λ_C；
(2)在每個小正方形邊長均為1的4×4的方格紙上，畫一個△ABC，使其頂點在格點(格點即每個小正方形的頂點)上，且λ_A＝2，面積也為2；
(3)判斷下列三個命題的真假(真命題打“P”，假命題打“×”)：
①若△ABC中λ_A＜1，則△ABC為銳角三角形；【   】
②若△ABC中λ_A＝1，則△ABC為銳角三角形；【   】
③若△ABC中λ_A＞1，則△ABC為銳角三角形．【   】

如圖，△ABC是一張銳角三角形的硬紙片．AD是邊BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．從這張硬紙片剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH．使它的一邊EF在BC上，頂點G，H分別在AC，AB上．AD與HG的交點為M．
（1）求證：；
（2）求這個矩形EFGH的周長．

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A = 90°，D是腰AC上的一個動點，過C作CE垂直于BD或BD的延長線，垂足為E，如圖．
（1）若BD是AC的中線，求的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分線，求的值；
（3）結合（1）、（2），試推斷的取值范圍（直接寫出結論，不必證明），并探究的
值能小于嗎？若能，求出滿足條件的D點的位置；若不能，說明理由

（2011•桂林）求證：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等．
已知：
求證：
證明：

某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進行改造，測得兩直角邊長為6m、8m．現(xiàn)要將其擴建成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形．求擴建后的等腰三角形花圃的周長．

（11·漳州）（滿分8分）下圖是2002年在北京舉辦的世界數(shù)學家大會的會標“弦圖”，它既標志著中國古代的數(shù)學成就，又像一只轉動著的風車，歡迎世界各地的數(shù)學家們．
請將“弦圖”中的四個直角三角形通過你所學過的圖形變換，在以下方格紙中設計另個兩個不同的圖案．畫圖要求：（1）每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形到不重疊；（2）所設計的圖案（不含方格紙）必須是中心對稱圖形或軸對稱圖形．