如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），sin∠CAB=, E是線段AB上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連結(jié)CE.

（1）求AC和OA的長；
（2）設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

如圖，已知每個小方格都是邊長為1的正方形，我們稱每個小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的圖形稱為格點(diǎn)圖形. 圖中的△ABC是一個格點(diǎn)三角形.

（1）請你在圖中畫出格點(diǎn)△A₁BC₁， 使得△A₁BC₁∽△ABC，且△A₁BC₁與△ABC的相似比為2：1；
（2）寫出A₁、C₁兩點(diǎn)的坐標(biāo).

已知：如圖，在中，D是AC上一點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且∠AED =∠C.

（1）求證：△AED∽△ACB；
（2）若AB=6，AD= 4，AC=5，求AE的長.

在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點(diǎn)E、F，連接EF．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合，求此時PC的長；

（2）將三角板從（1）中的位置開始，繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答：

①∠PEF的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；
②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過的路線長．

以平面上一點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，分別畫出兩個直角三角形，記作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30．

圖1                         圖2                     圖3
（1）點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)，連接FM、EM．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D、C分別在AO、BO的延長線上時，=_______；
②如圖2，將圖1中的△AOB繞點(diǎn)O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角（），其他條件不變，判斷的值是否發(fā)生變化，并對你的結(jié)論進(jìn)行證明；
（2）如圖3，若BO=，點(diǎn)N在線段OD上，且NO=2.點(diǎn)P是線段AB上的一個動點(diǎn)，在將△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，線段PN長度的最小值為_______，最大值為_______．

如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在DC的延長線上，且∠DAE=∠F．

（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的長．

如圖, 現(xiàn)有邊長為1，a (其中a>1)的一張矩形紙片, 現(xiàn)要將它剪裁出三個小矩形 (大小可以不同， 但不能有剩余), 使每個矩形都與原矩形相似，請?jiān)趫D中畫出兩種不同裁剪方案的裁剪線的示意圖，并直接寫出相應(yīng)的a的值(不必寫過程)。

數(shù)學(xué)興趣小組想測量一棵樹的高度，在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1m的竹竿的影長為0.8m，同時另一名同學(xué)測量一棵樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上，其中，落在墻壁上的影長為1.5m，落在地面上的影長為4.8m，求樹的高為多少米?

（本題滿分12分 第（1）小題6分，第（2）小題6分）
已知：如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D， CE⊥AB于點(diǎn)E，EC和BD相交于點(diǎn)O，聯(lián)接DE．

（1）求證：△EOD∽△BOC；
（2）若S_△EOD＝16，S_△BOC＝36，求的值．

如圖, ΔABC是等邊三角形,點(diǎn)D,E分別在BC,AC上,且BD=CE,AD與BE相交于點(diǎn)F。

(1)求證：ΔABD≌ΔBCE.
(2)ΔAEF與ΔABE相似嗎?請說明理由.
(3)成立嗎?請說明理由.