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科目： 來源：2009年高中段自主招生科學(xué)素養(yǎng)模擬卷（數(shù)學(xué)部分）（解析版） 題型：解答題

（2007•梅州）梅林中學(xué)租用兩輛小汽車（設(shè)速度相同）同時送1名帶隊老師及7名九年級的學(xué)生到縣城參加數(shù)學(xué)競賽，每輛限坐4人（不包括司機(jī)）．其中一輛小汽車在距離考場15km的地方出現(xiàn)故障，此時離截止進(jìn)考場的時刻還有42分鐘，這時唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下車時間忽略不計）．
（1）若小汽車送4人到達(dá)考場，然后再回到出故障處接其他人，請你通過計算說明他們能否在截止進(jìn)考場的時刻前到達(dá)考場；
（2）假如你是帶隊的老師，請你設(shè)計一種運(yùn)送方案，使他們能在截止進(jìn)考場的時刻前到達(dá)考場，并通過計算說明方案的可行性．

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科目： 來源：2009年高中段自主招生科學(xué)素養(yǎng)模擬卷（數(shù)學(xué)部分）（解析版） 題型：解答題

（2006•常德）把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．
（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時，AP•CQ=______；
（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，問AP•CQ的值是否改變？說明你的理由；
（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（圖2，圖3供解題用）

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科目： 來源：2009年高中段自主招生科學(xué)素養(yǎng)模擬卷（數(shù)學(xué)部分）（解析版） 題型：解答題

（2007•威海）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（1，2），點B的坐標(biāo)為（3，1），二次函數(shù)y=x²的圖象記為拋物線l₁．
（1）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線過點A，但不過點B，寫出平移后的一個拋物線的函數(shù)表達(dá)式：______（任寫一個即可）；
（2）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線過A，B兩點，記為拋物線l₂，如圖2，求拋物線l₂的函數(shù)表達(dá)式；
（3）設(shè)拋物線l₂的頂點為C，K為y軸上一點．若S_△ABK=S_△ABC，求點K的坐標(biāo)；
（4）請在圖3上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線l₂上是否存在點P，使△ABP為等腰三角形．若存在，請判斷點P共有幾個可能的位置（保留作圖痕跡）；若不存在，請說明理由．