(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)…(2³²＋1)＋1．

已知：(a＋b)²＝11，(a－b)²＝5．求：

(1)a²＋b²　　(2)ab

　　八年級(jí)甲班和乙班舉行了一次聯(lián)歡會(huì)．許剛在晚會(huì)上表演了一個(gè)小小的戲法．他從口袋里拿了一副撲克牌說：“這是一副普通的撲克牌，我要請(qǐng)一位同學(xué)將牌洗均勻，誰來洗？”陳逸上來接過牌，啪啪啪地洗了幾次，交給許剛．許剛隨即將牌裝進(jìn)了口袋說：“牌已洗勻了，現(xiàn)在請(qǐng)一位同學(xué)隨便報(bào)一個(gè)不大于15的正整數(shù)，我總能抽出一組牌，其數(shù)值相加正好是你所報(bào)的數(shù)．”大家的臉上顯示出了困惑的表情，真有這么神嗎？花卉報(bào)了一個(gè)“14”，許剛立即從口袋里的牌中抽出一組牌，攤放在桌上，大家一看是2，4，8這三張牌，它們的和正好是14．報(bào)了幾個(gè)數(shù)，許剛的表現(xiàn)都正確無誤，難道許剛真的會(huì)魔法嗎？

　　當(dāng)然，魔法是不存在的，但這戲法的奧妙在哪里呢？你能揭穿它嗎？

　　這個(gè)戲法的最關(guān)鍵之處是要構(gòu)造一組數(shù)，使得15以內(nèi)的正整數(shù)都能用這組數(shù)中的幾個(gè)數(shù)的和來表示．這組數(shù)是2的連續(xù)次冪，即1，2，4，8，不超過15的正整數(shù)都可以用以上4個(gè)數(shù)中的幾個(gè)或全部的和來表示．你不妨驗(yàn)證一下．

　　許剛在做戲法前已抽出了以上的4張牌，并將它們按順序疊好先放置在口袋里．當(dāng)他叫陳逸洗牌時(shí)，因?yàn)檎麄�(gè)一副牌里只少了4張牌，誰也不會(huì)在意的．然后他將洗好的牌放進(jìn)口袋，將事先選取的4張牌疊放在整副牌的上面．這樣當(dāng)然可以不費(fèi)力地抽出需要的幾張．

若要求所報(bào)的數(shù)不超過31，你會(huì)設(shè)計(jì)嗎？你應(yīng)如何表演呢(注：撲克牌里找不到16點(diǎn)，你可用K和3代替)？

分別計(jì)算圖1和圖2中的陰影部分的面積．

不求出多項(xiàng)式的積，直接求出(3x⁴－2x³＋x²－8x＋7)(2x³＋3x²＋6x＋3)中x³項(xiàng)的系數(shù)．

若不論x取何值，多項(xiàng)式x³－2x²－4x－1與(x＋1)(x²＋mx＋n)都相等，求m，n．

已知ab²＝－6，求－ab(a²b⁵－ab³－b)的值．

　　觀察是思考的“外殼”，要想思考得好，一定要善于觀察．?dāng)?shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)或解決問題時(shí)往往首先依賴于他對(duì)若干現(xiàn)象的觀察－－通過觀察，如果發(fā)現(xiàn)某種值得注意的規(guī)律，就對(duì)它進(jìn)行研究，并力圖從中發(fā)現(xiàn)某種結(jié)論，去解釋或描述這種模型，以求問題的順利解決．例如，如果讓你用任意方法去切一塊圓餅，只要通過同一點(diǎn)不超過兩刀，那么最多能得到幾塊？

　　自然，我們用不著特地去買一塊餅來，只要在紙上畫一些圓就行了．我們對(duì)各圓進(jìn)行不同次數(shù)的切割，并在表中記錄結(jié)果，得到：

　　我們仔細(xì)考查一下這張表，看看能否找到其中的規(guī)律．從記錄上看，增加的塊數(shù)分別是自然數(shù)1，2，3．切割次數(shù)也分別是1，2，3．這種規(guī)律是否繼續(xù)有效呢？讓我們?cè)俣嘣噹状危�并記錄�?shù)據(jù)，得到：

　　現(xiàn)在的增加數(shù)分別是1，2，3，4，5，可見規(guī)律繼續(xù)有效．這種規(guī)律使我們預(yù)測(cè)到：切割6次得22塊，切割7次得29塊．并進(jìn)一步能使我們預(yù)測(cè)切割任意次所得的塊數(shù)．

想一想：切割8次、9次將分別得到多少塊？

我們知道：1²＝1，2²＝4，3²＝9，4²＝16，5²＝25，…，若自然數(shù)的平方按由小到大的順序排成：

14916253649…，

則第351個(gè)位置的數(shù)字是幾？

問題：你能比較2000²⁰⁰¹和2001²⁰⁰⁰的大小嗎？

為了解決這個(gè)問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和(n＋1)ⁿ的大小(n是自然數(shù))，然后我們從分析n＝1，n＝2，n＝3，…這些簡(jiǎn)單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納猜想得出結(jié)論：

(1)通過計(jì)算，比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小(在橫線上填寫“＞”、“＜”或“＝”號(hào))：

①1²________2¹　　②2³________3²　�、�3⁴________4³　　④4⁵________5⁴　�、�5⁶________6⁵

(2)從第(1)題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和(n＋1)ⁿ的大小關(guān)系是________．

(3)根據(jù)上面歸納猜想到的結(jié)論，試比較下列兩個(gè)數(shù)的大小：2000²⁰⁰¹________2001²⁰⁰⁰．