已知：將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖①擺放，點E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點。將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉角α(0°＜α＜90°)，在旋轉過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N，分別過點M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H。

(1）當α＝30°時(如圖②)，求證：AG=DH；

(2）當α＝60°時(如圖③)，(1)中的結論是否成立？請寫出你的結論，并說明理由；

(3）當0°＜α＜90°時，(1)中的結論是否成立？請寫出你的結論，并根據(jù)圖④說明理由。

如圖1，△ABC為等邊三角形，面積為S．D_{1、E1、F1分別是△ABC三邊上的點，且，連結、、，可得△是等邊三角形，此時△的面積，△的面積．}

⑴ 當D2、E2、F2分別是等邊△ABC三邊上的點，且時如圖2，

① 求證：△是等邊三角形；

② 若用S表示△的面積，則S2 = 　　　　　　 ；

若用S表示△的面積，則= 　　　　　　 ．

⑵ 按照上述思路探索下去，并填空：

當Dn、En、Fn分別是等邊△ABC三邊上的的點，時，（n為正整數(shù)）

△DnEnFn是　　　　　　 　　　　　　三角形；

若用S表示△ADnFn的面積Sn，則Sn = 　　　　　　 ；

若用S表示△DnEnFn的面積，則= 　　　　　　．

將正六邊形紙片按下列要求分割（每次分割，紙片均不得有剩余）；

第一次分割：將正六邊形紙片分割成三個全等的菱形，然后選取其中的一個菱形在分割成一個正六邊形和兩個全等的正三角形；

第二次分割：將第一次分割后所得的正六邊形紙片分割成三個全等的菱形，然后選取其中的一個菱形在分割成一個正六邊形和兩個全等的正三角形；

按上述分割方法進行下去……

(1）請你在下圖中畫出第一次分割的示意圖；

(2）若原正六邊形的面積為，請你通過操作和觀察，將第1次，第2次，第3次分割后所得的正六邊形的面積填入下表：

（3）觀察所填表格，并結合操作，請你猜想：分割后所得的正六邊形的面積S與分割次數(shù)有何關系？（S用含和n的代數(shù)式表示，不需要寫出推理過程）。

如圖，，過上到點的距離分別為，，，，的點作的垂線與相交，再按一定規(guī)律標出一組如圖所示的黑色梯形．設前個黑色梯形的面積和為．

(1）請完成下面的表格：

(2）已知與之間滿足一個二次函數(shù)關系，試求出這個二次函數(shù)的解析式．

觀察下面的點陣圖形和與之相對應的等式，探究其中的規(guī)律：

(1）請你在④和⑤后面的橫線上分別寫出相對應的等式：

(2）通過猜想，寫出與第n個圖形相對應的等式．

如圖1、圖2、圖3中，點E、D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點為頂點，一邊延長線和另一邊反向延長線上的點，且BE = CD，DB延長線交AE于F.

⑴求圖1中，∠AFB的度數(shù)；

⑵圖2中，∠AFB的度數(shù)為___________，圖3中，∠AFB的度數(shù)為___________；

⑶根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n 邊形情況。若能，寫出推廣問題和結論；若不能，請說明理由。

兩條平行直線上各有個點，用這對點按如下的規(guī)則連接線段；

①平行線之間的點在連線段時，可以有共同的端點，但不能有其它交點；

②符合①要求的線段必須全部畫出；

圖1展示了當時的情況，此時圖中三角形的個數(shù)為0；圖2展示了當時的一種情況，此時圖中三角形的個數(shù)為2；

(1）當時，請在圖3中畫出使三角形個數(shù)最少的圖形，此時圖中三角形的個數(shù)為

　　　　 　　　　 個；

(2）試猜想當對點時，按上述規(guī)則畫出的圖形中，最少有多少個三角形？

(3）當時，按上述規(guī)則畫出的圖形中，最少有多少個三角形？

圖1　　　　　　　　　　　圖2　　　　　　　　　圖3

某校的一間階梯教室，第1排的座位數(shù)為a，從第2排開始，每一排都比前一排增加b個座位.

⑴請你在下表的空格里填寫一個適當?shù)拇鷶?shù)式：

⑵已知第4排有18個座位，第15排座位數(shù)是第5排座位數(shù)的2倍，求第21排有多少個座位？

如圖，等腰中，，是底邊上的高，．

(1）與有什么數(shù)量關系？請說明理由；

(2）過點作，垂足為；，垂足為；，垂足為；，垂足為；…；，垂足為；，垂足為（為非零自然數(shù)）．若，請用含的代數(shù)式表示下表中線段的長度（請將結果直接填入表中）；

（3）某工業(yè)園區(qū)一個車間的人字形屋架為（2）中的圖形，跨度為16米，是該屋架的主柱，為輔柱．若整個屋架有18根輔柱，則最短一根輔柱的長度約為多少米（結果精確到0.1米）？

在下圖中，每個正方形有邊長為1 的小正方形組成：

(1）觀察圖形，請?zhí)顚懴铝斜砀瘢?/p>

（2）在邊長為（）的正方形中，設黑色小正方形的個數(shù)為，白色小正方形的個數(shù)為，問是否存在偶數(shù)，使？若存在，請寫出的值；若不存在，請說明理由。