已知一次函數(shù)y₁＝2x，二次函數(shù)y₂＝x²＋1．

(1)根據(jù)表中給出的x的值，計算對應(yīng)的函數(shù)值y₁、y₂，并填在表格中：

(2)觀察第(1)問表中有關(guān)的數(shù)據(jù)，證明如下結(jié)論：在實效范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這兩個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y₁≤y₂均成立；

(3)試問，是否存在二次函數(shù)y₃＝ax²＋bx＋c，其圖像經(jīng)過點(－5，2)，且在實數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y₁≤y₃≤y₂均成立，若存在，求出函數(shù)y₃的解析式；若不存在，請說明理由．

數(shù)學(xué)課上，老師出示圖和下面條件：

如圖，在直角坐標平面內(nèi)，O為坐標原點，A點坐標為(1，0)，點B在x軸上且在點A的右側(cè)，AB＝OA．過點A和B作x軸的垂線，分別交二次函數(shù)y＝x²的圖像于點C和D．直線OC交BD于點M，直線CD交y軸于點H．記點C、D的橫坐標分別為x_C、x_D，點H的縱坐標為y_H．

同學(xué)發(fā)現(xiàn)兩個結(jié)論：①S_△CMD∶S_梯形ABMC＝2∶3；②數(shù)值相等關(guān)系：x_C·x_D＝－y_H．

(1)請你驗證結(jié)論①和結(jié)論②成立；

(2)請你研究：如果將上述條件“A點坐標為(1，0)”改為“A點坐標為(t，0)(t＞0)”，其他條件不變，結(jié)論①是否仍成立？(請說明理由)

(3)進一步研究：如果將上述條件“A點坐標為(1，0)”改為“A點坐標為(t，0)(t＞0)”，又將條件“y＝x²”改為“y＝ax²(a＞0)”，其他條件不變，那么x_C、x_D和y_H有怎樣的數(shù)值關(guān)系？(寫出結(jié)果并說明理由)

如圖，AB、CD是兩個過江電纜的鐵塔，塔AB高40米，AB的中點為P，塔底B距江面的垂直高度為6米．跨江電纜因重力自然下垂近似成拋物線形，為了保證過往船只的安全，電纜下垂的最低點距江面的高度不得少于30米．已知：人在距塔底B點西50米的地面E點恰好看到點E、P、C在一直線上；再向西前進150米后從地面F點恰好看到點F、A、C在一直線上．(1)求兩鐵塔軸線間的距離(即直線AB、CD間的距離)；(2)若以點A為坐標原點，向東的水平方向為x軸，取單位長度為1米，BA的延長線方向為y軸建立坐標系．求剛好滿足最低高度要求的這個拋物線的解析式．

已知拋物線y＝x²－(2m＋4)x＋m²－10與x軸交于A、B兩點，C是拋物線的頂點．

(1)用配方法求頂點C的坐標(用含有m的代數(shù)式表示)；

(2)“若AB的長為2，求拋物線的解析式”的解法如下：

由(1)知，對稱軸與x軸交于點D(________，0)．

∵拋物線具有對稱性，且AB＝2，

∴AD＝DB＝|x_A－x_D|＝．

∵A(x_A，0)在拋物線y＝(x－h(huán))²＋k上，

∴(x_A－h(huán))²＋k＝0．　　　�、�

∵h＝x_C＝x_D，

∴將|x_A－x_D|＝代入①，得到關(guān)于m的方程0＝()²＋(________)．　�、�

補全解題過程，并簡述步驟①的解題依據(jù)，步驟②的解題方法．

(3)將(2)中條件“AB的長為2”改為“△ABC為等邊三角形”，用類似的方法求出拋物線的解析式．

如圖，AB是半圓O的直徑，點M是半徑OA的中點，點P在線段AM上運動，且總保持PQ＝PO，過點Q作O的切線交BA的延長線于點C．

(1)當(dāng)∠QPA＝時，請你對△QCP的形狀做出猜想，并給予證明；

(2)當(dāng)QP⊥AB時，△QCP的形狀是何種三角形，并說明理由；

(3)由(1)、(2)得出結(jié)論，請進一步猜想當(dāng)點P在線段AM上運動到任何位置時，△QCP一定是何種三角形？

如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點坐標分別為A(0，3)、B(－2，0)、C(m，0)，其中m＞0，以O(shè)B、OC為直徑的圓分別交AB于點E，交AC于點F，連結(jié)EF．

(1)求證：△AFE∽△ABC；

(2)是否存在m的值，使得△AEF是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；

(3)觀察當(dāng)點C在x軸上移動時，點F移動變化的情況，試求點C從點C₁(，0)移動到點C₂(3，0)時，點F移動的行程．

如圖，A、K為⊙O上兩點，直線FN⊥MA，垂足為N，F(xiàn)N與⊙O相切于點F，∠AOK＝2∠MAK．(1)求證：MN是⊙0的切線；(2)若點B為⊙O上一動點，BO延長線交⊙O于點C，交NF于點D，連結(jié)AC并延長交NF于點E，當(dāng)FD＝2ED時，求∠AEN的余切值．

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已知如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于點C，D，A是⊙O₁上一點，直線AD交⊙O₂于點B，(1)當(dāng)點A在上運動到點時，作直線交⊙O₂于點，連結(jié)，，求證∽△ABC；(2)問點在上什么位置時，最大，請說明理由；(3)當(dāng)O₁O₂＝11，CD＝9，求的最大值．

某容器盛滿純酒精25升，第1次倒出若干升后，用水加滿，第二次倒出相同的升數(shù)的酒精溶液，再用水加滿，此時還剩純酒精16升，求每次倒出的酒精溶液升數(shù)．

已知關(guān)于x的方程x²－2(m＋1)x＋m²－2m－3＝0　　①的兩個不相等的實數(shù)根中有一個根為0，是否存在實數(shù)k使關(guān)于x的方程x²－(k－m)x－k－m²＋5m－2＝0　　②的兩個實數(shù)根x₁，x₂之差的絕對值為1？若存在，求出k值；若不存在，請說明理由．