已知拋物線y＝(k－1)x²＋(2＋4k)x＋1－4k過點(diǎn)A(4，0)．

(1)試確定拋物線的解析式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)在y軸上確定一點(diǎn)P，使線段AP＋BP最短，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)設(shè)M為線段AP的中點(diǎn)，試判斷點(diǎn)B與以AP為直徑的⊙M的位置關(guān)系，并說明理由．

我們給出如下定義：三角形三條中線的交點(diǎn)稱為三角形的重心．一個(gè)三角形有且只有一個(gè)重心．可以證明三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍．

可以根據(jù)上述三角形重心的定義及性質(zhì)知識(shí)解答下列問題：

如圖，∠B的平分線BE與BC邊上的中線AD互相垂直，并且BE＝AD＝4

(1)猜想AG與GD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)求△ABC的三邊長．

如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸上，且OC＝，tan∠OAC＝，將△OAC沿AC翻折使點(diǎn)O落在坐標(biāo)平面內(nèi)的B點(diǎn)處．

(1)求B點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c的圖象經(jīng)過O、B、A三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)P，使以P、A、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

如圖，邊長為1的正方形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上.動(dòng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)(不與B，C重合)，連接OD，過點(diǎn)D作DE⊥OD，交邊AB于點(diǎn)E，連接OE．記CD的長為t．

(1)當(dāng)t＝時(shí)，求直線DE的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如果記梯形COEB的面積為S，那么是否存在S的最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值及此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)當(dāng)OD²＋DE²的算術(shù)平方根取最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

如圖，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4 cm，AD⊥BC于D．點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1 cm/s；點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2 cm/s．設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s)．

(1)求x為何值時(shí)，PQ⊥AC；

(2)設(shè)△PQD的面積為y(cm²)，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求證：AD平分△PQD的面積；

(4)探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系．請(qǐng)寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍(不要求寫出過程)．

如圖，菱形ABCD的邊長為6 cm，∠DAB＝60°，點(diǎn)M是邊上AD上一點(diǎn)，且DM＝2 cm，點(diǎn)E、F分別從A、C同時(shí)出發(fā)，以1 cm/s的速度分別沿邊AB、CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，EM、CD的延長線相交于G，AD交于O．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)，△CGF的面積為y(cm²)．

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，GF⊥AD?

是否存在某一時(shí)刻，使得線段GF把菱形ABCD分成的上、下兩部分的面積之比為3∶7？若存在，求出此時(shí)x的值；若不存在，說明理由．

(參考數(shù)據(jù)：41²＝1681，49²＝2401，51²＝2601，59²＝3481)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)函數(shù)y＝x，y＝－x＋6的圖象交于點(diǎn)A. 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，作PQ∥x軸交直線BC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設(shè)它與△OAB重疊部分的面積為S．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)試求出點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)的關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，S是否有最大值？若有，求出t為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由；

(4)若點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)A后繼續(xù)按原方向、原速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)正方形PQMN與△OAB重疊部分面積最大時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t滿足的條件是什么．

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(0，3)，B(4，0)，設(shè)P，Q分別是線段AB，OB上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)．

(1)用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ為直角三角形？

(3)在什么條件下，以Rt△OPQ的三個(gè)頂點(diǎn)能確定一條對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線？選擇一種情況，求出所確定的拋物線的解析式．

如圖，已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，AB與y軸正半軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(－1，0)，P點(diǎn)是AC上的動(dòng)點(diǎn)(P點(diǎn)與A，C兩點(diǎn)不重合)．

(1)寫出點(diǎn)A，點(diǎn)E的坐標(biāo)．

(2)若拋物線y＝－x²＋bx＋c過A，E兩點(diǎn)，求拋物線的解析式．

(3)連結(jié)PB，PD．設(shè)l為△PBD的周長，當(dāng)l取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及l的最小值，并判斷此時(shí)點(diǎn)P是否在(2)中所求的拋物線上，請(qǐng)充分說明你的判斷理由．

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝9，BC＝12，AB＝a，在線段BC上任取一點(diǎn)P，連結(jié)DP，作射線PE⊥DP，PE與直線AB交于點(diǎn)E．

(1)試確定CP＝3時(shí)，點(diǎn)E的位置；

(2)若設(shè)CP＝x，BE＝y(tǒng)，試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)若在線段BC上能找到不同的兩點(diǎn)P₁，P₂，使按上述作法得到的點(diǎn)E都與點(diǎn)A重合，試求出此時(shí)a的取值范圍．