如圖，AB是⊙O直徑，直線l交⊙O于C₁、C₂，AD⊥l，垂足為D．

(1)求證：AC₁·AC₂＝AB·AD．

(2)若將直線l向上平移(如圖)，交⊙O于C₁、C₂，使弦C₁C₂與直徑AB相交(交點不與A、B重合)，其他條件不變，請你猜想AC₁、AC₂、AB、AD之間的關(guān)系，并說明理由．

(3)若將直線l平移到與⊙O相切時，切點為C，其他條件不變，請你在下圖上畫出變化后的圖形，標(biāo)好相應(yīng)字母并猜想AC、AB、AD的關(guān)系是什么(只寫出關(guān)系，不加以說明)．

如圖，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC．

(1)在圖(1)中，能否在AB上確定一點E，使得AC²＝AE·AB，為什么？

(2)在圖(2)中，在條件(1)的結(jié)論下延長EC到P，連結(jié)PB，如果PB＝PE，試判斷PB和⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

(1)填空：

①方程x²＋2x＋1＝0的根為x₁＝________，x₂＝________，x₁＋x₂＝________，x₁·x₂＝________；

②方程x²－3x－1＝0的根為x₁＝________，x₂＝________，x₁＋x₂＝________，x₁·x₂＝________；

③方程3x²＋4x－7＝0的根為x₁＝________，x₂＝________，x₁＋x₂＝________，x₁·x₂＝________；

④方程x²＋x＋1＝0的實數(shù)根存在嗎？答：________．

(2)猜想并驗證：

由①、②、③、④，對于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0，你能得出什么結(jié)論？試說明這個結(jié)論的正確性．

(3)應(yīng)用結(jié)論解決問題：

已知關(guān)于x的方程x²－2(m－2)x＋m²＝0，若設(shè)它的兩根為x₁、x₂，且＝56，求m的值．

已知：⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，且點O₂在⊙O₁上．

(1)如圖，AD是⊙O₂的直徑，連接DB并延長交⊙O₁于C，試說明：CO₂⊥AD；

(2)如圖，如果AD是⊙O₂的一條弦，連接DB并延長交⊙O₁于C，那么CO₂所在直線是否與AD垂直？說明你的結(jié)論．

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BE是⊙O的切線，切點為B，點C在射線BE上移動(點C與B不重合)，過C作CD切⊙O于D點．

(1)AD與OC是否平行？請說明理由；

(2)設(shè)⊙O的半徑為r，試問：當(dāng)動點C在射線BE上運動到什么位置時，有AD＝？請回答并說明你的結(jié)論．

已知：△ABC中，AB＝AC，D、E在直線BC上，∠BAC＝40°，∠DAE＝110°，

(1)求證：△ADB∽△EAC；

(2)探索：當(dāng)D、E在直線BC上運動時，∠DAE與∠BAC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，(1)中的結(jié)論仍然成立？(不寫過程)

已知，如圖所示，⊙D交y軸于A、B，交x軸于C，過C的直線：y＝－2x－8與y軸交于P．

(1)求證：PC是⊙D的切線；

(2)判斷在直線PC上是否存在點E，使得S_△EOC＝4S_△CDO，若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

如圖所示，⊙O的半徑OA＝2，點P、Q分別是線段OA和⊙O上的動點(點Q不與A重合)．且當(dāng)點P、Q運動時，PQ＝PO．過點Q作⊙O的切線交OA的延長線于點C．

(1)PQ和PC有怎樣的大小關(guān)系？請說明理由；

(2)△QPC能成為等邊三角形嗎？若有，求出此時OP的長，若不能，說明理由．

定義：若某個圖形可分割成若干個都與它自己相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形．

探究：(1)如圖①，已知△ABC中，∠C＝90°，你能把△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請在圖①中畫出分割線，并說明理由．

(2)一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連接三角形各邊中點，則可將原三角形分割為4個都與它自己相似的小三角形．我們把△DEF(圖②)第一次順次連接各邊中點所進行的分割，稱為1階分割(如圖③)．

把1階分割得出的4個三角形再分別順次連接它們的各邊中點所進行的分割，稱為2階分割(如圖④)，……，依此規(guī)則操作下去，n階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形(n為正整數(shù))，設(shè)此時小三角形的面積為S_n．

①若△DEF的面積為10000，當(dāng)n為何值時，2＜S_n＜3？

②當(dāng)n＞1，請寫出一個反映S_n－1，S_n，S_n+1之間關(guān)系的等式．

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3cm，BC＝7cm，∠B＝60°，P為下底BC上一點(不與B，C重合)，連接AP，過點P作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．

(1)求證：△ABP∽△PCE；

(2)求等腰梯形ABCD的腰長；

(3)在底邊BC上是否存在一點P，使得DE∶EC＝5∶3？如果存在，求BP的長，如果不存在，請說明理由．