如圖，OB是矩形OABC的對角線，拋物線y＝－x²＋x＋6經(jīng)過B、C兩點．

(1)求點B的坐標；

(2)D、E分別是OC、OB上的點，OD＝5，OE＝2EB，過D、E的直線交x軸于F，試說明OE⊥DF；

(3)若點M是(2)中直線DE上的一個動點，在x軸上方的平面內是否存在另一個點N，使以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

閱讀與證明：

如圖，已知正方形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點，且∠EAF＝45°，求證：BF＋DE＝EF．

分析：證明一條線段等于另兩條線段的和，常用“截長法”或“補短法”，將線段BF、DE放在同一直線上，構造出一條與BF＋DE相等的線段．如圖延長ED至點，使D＝BF，連接A，易證△ABF≌△AD，進一步證明△AEF≌△AE，即可得結論．

(1)請你將下面的證明過程補充完整．

證明：延長ED至，使D＝BF，

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB＝AD，∠ABF＝∠AD＝90°，

∴△ABF≌△AD(SAS)

應用與拓展：如圖建立平面直角坐標系，使頂點A與坐標原點O重合，邊OB、OD分別在x軸、y軸的正半軸上．

(2)設正方形邊長OB為30，當E為CD中點時，試問F為BC的幾等分點？并求此時F點的坐標；

(3)設正方形邊長OB為30，當EF最短時，直接寫出直線EF的解析式：________．

已知如圖，二次函數(shù)y＝ax²＋2ax－3a(a≠0)圖象的頂點為H，與x軸交于A、B兩點(B在A點右側)，點H、B關于直線l：y＝＋對稱．

(1)求A、B兩點坐標，并證明點A在直線l上；

(2)求二次函數(shù)解析式；

(3)過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．

(1)閱讀理解

先觀察和計算，并用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“＝”填空：4＋9________2，

4＋4________2，2＋3________2．請猜想：當a＞0，b＞0，則a＋b________．

如∵展開∴6＋5．

請你給出猜想的一個相仿的說明過程．

(2)知識應用

①如圖⊙O中，⊙O的半徑為5，點P為⊙O內一個定點，OP＝2，過點P作兩條互相垂直的弦，即AC⊥BD，作ON⊥BD，OM⊥AC，垂足為M、N，求OM²＋ON²的值．

②在上述基礎上，連接AB、BC、CD、DA，利用①中的結論，探求四邊形ABCD面積的最大值．

如圖，梯形OABC中，CB∥OA，O為坐標原點，B(2，4)，C(0，4)，tan∠BAO＝2，動點Q從點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段OA運動，到點A停止，過點Q作OP⊥x軸交折線C－B－A于點P，以PQ為一邊向左作正方形PQRS，設運動時間為t(秒)，正方形PQRS與梯形OABC重疊的面積為S(平方單位)．

(1)求點A的坐標．

(2)求S與t的函數(shù)關系式．

(3)求(2)中的S的最大值．

如圖，拋物線y＝ax²＋bx經(jīng)過點A(4，0)，B(2，2)．連接OB，AB．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求證：△OAB是等腰直角三角形；

(3)將△OAB繞點O按順時針方向旋轉135°得到△O，寫出的中點P的坐標．試判斷點P是否在此拋物線上，并說明理由．

有一座拋物線形拱橋，橋的跨度為40米，橋面的最大高度為8米，將它的示意圖放入如圖所示的平面直角坐標系中．

(1)求拋物線的解析式；

(2)現(xiàn)計劃在橋面上鋪臺階，臺階的高度均為0.2米，請計算從底部開始數(shù)的第31級臺階的水平寬度(結果精確到0.01)．[參考數(shù)據(jù)：≈3.162]

如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為1的圓的圓心O在坐標原點，且與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．拋物線y＝ax²＋bx＋c與y軸交于點D，與直線y＝x交于點M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點A和點C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線的對稱軸交x軸于點E，連結DE，并延長DE交圓O于F，求EF的長．

(3)過點B作圓O的切線交DC的延長線于點P，判斷點P是否在拋物線上，說明理由．

已知拋物線的頂點坐標為(，－)，且經(jīng)過點C(1，0)，若此拋物線與x軸的另一交點為點B，與y軸的交點為點A，設P、Q分別為AB、OB邊上的動點，它們同時分別從點A、O向B點勻速運動，速度均為每秒1個單位，設P、Q移動時間為t(0≤t≤4)

(1)求此拋物線的解析式；并求出P點的坐標(用t表示)；

(2)當△OPQ面積最大時求△OBP的面積；

(3)當t為何值時，△OPQ為直角三角形？

(4)△OPQ是否可能為等邊三角形？若可能請求出t的值；若不可能請說明理由，并改變點Q的運動速度，使△OPQ為等邊三角形，求出此時Q點運動的速度和此時t的值．

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為(0，2)，點D在x軸的負半軸上，∠ODB＝30°，OE為△BOD的中線，過B、E兩點的拋物線y＝ax²－x＋c與x軸相交于A、F兩點(A在F的右側)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P是上述拋物線上一動點，若由點D、O、E、P構成四邊形為梯形，則這樣的點P有幾個？試求出其中兩個點P的坐標；

(3)等邊△OMN的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長．