將一副直角三角板按圖1的方式放置，三角板ACB的直角頂點A在三角板EDF的直角邊DE上，點C、D、B、F在同一直線上，點D、B是CF的三等分點，CF=6．
（1）三角板ACB固定不動，將三角板EDF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，使DE與AC交于點M，DF與AB交于點N，當(dāng)EF∥CB時（如圖2），DF旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為；
（2）求圖2中的四邊形AMDN的周長；
（3）將圖2中的三角板EDF繞點D繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)15°得圖3，猜想圖3中的四邊形AMDN是什么四邊形，并證明你的猜想．

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，點E，F(xiàn)分別是線段BC，AC的中點，連結(jié)EF．
（1）線段BE與AF的位置關(guān)系是，

AF

BE

=．
（2）如圖2，當(dāng)△CEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a時（0°＜a＜180°），連結(jié)AF，BE，（1）中的結(jié)論是否仍然成立．如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．
（3）如圖3，當(dāng)△CEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a時（0°＜a＜180°），延長FC交AB于點D，如果AD=6-2

3

，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)．

如圖1，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A（0，4），C（2，0）．將矩形OABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)135°，得到矩形EFGH（點E與點O重合）．
（Ⅰ）若GH交y軸于點M，則∠FOM=°，OM=．
（Ⅱ）將矩形EFGH沿y軸向上平移t個單位．
①如圖2，直線GH與x軸交于點D，若AD∥BO，求t的值；
②若矩形EFGH與矩形OABC重疊部分的面積為s個平方單位，試求當(dāng)0＜t≤4

2

-2時，s與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點P、Q分別在邊AC、BC上，其中CQ=a，CP=b．過點P作AC的垂線l交邊AB于點R，作△PQR關(guān)于直線l對稱的圖形，得到△PQ′R，我們把這個操作過程記為CZ[a，b]．
（1）若CZ[a，b]使點Q′恰為AB的中點，則b=；當(dāng)操作過程為CZ[3，4]時，△PQR與△PQ′R組合而成的軸對稱圖形的形狀是；
（2）若a=b，則：
①當(dāng)a為何值時，點Q′恰好落在AB上？
②若記△PQ′R與△PAR重疊部分的面積為S（cm²），求S與a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出a的取值范圍；
（3）當(dāng)四邊形PQRQ′為平行四邊形時，求四邊形PQRQ′面積最大值．

如圖，有一張直角三角形紙片ABC，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=3，直角邊AC在x軸上，B點在第二象限，A（

3

，0），AB交y軸于E，將紙片過E點折疊使BE與EA所在直線重合，得到折痕EF（F在x軸上），再展開還原沿EF剪開得到四邊形BCFE，然后把四邊形BCFE從E點開始沿射線EA方向平行移動，至B點到達(dá)A點停止（記平移后的四邊形為B₁C₁F₁E₁）．在平移過程中，設(shè)平移的距離BB₁=x，四邊形B₁C₁F₁E₁與△AEF重疊的面積為S．
（1）求折痕EF的長；
（2）平移過程中是否存在點F₁落在y軸上，若存在，求出x的值；若不存在，說明理由；
（3）直接寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍．

在一張長方形紙片ABCD中，AB=25cm，AD=20cm，現(xiàn)將這張紙片按下列圖示方法折疊，請解決下列問題．
（1）如圖（1），折痕為DE，點A的對應(yīng)點F在CD上，求折痕DE的長；
（2）如圖（2），H，G分別為BC，AD的中點，A的對應(yīng)點F在HG上，折痕為DE，求重疊部分的面積；
（3）如圖（3），在圖（2）中，把長方形ABCD沿著HG對開，變成兩張長方形紙片，將兩張紙片任意疊合后，判斷重疊四邊形的形狀，并證明；
（4）在（3）中，重疊四邊形的周長是否存在最大值或最小值？如果存在，試求出來；如果不存在，試簡要說明理由．

已知兩條平行線l₁、l₂之間的距離為6，截線CD分別交l₁、l₂于C、D兩點，一直角的頂點P在線段CD上運(yùn)動（點P不與點C、D重合），直角的兩邊分別交l₁、l₂于A、B兩點．
（1）操作發(fā)現(xiàn)
如圖1，過點P作直線l₃∥l₁，作PE⊥l₁，點E是垂足，過點B作BF⊥l₃，點F是垂足．此時，小明認(rèn)為△PEA∽△PFB，你同意嗎？為什么？
（2）猜想論證
將直角∠APB從圖1的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，在這一過程中，試觀察、猜想：當(dāng)AE滿足什么條件時，以點P、A、B為頂點的三角形是等腰三角形？在圖2中畫出圖形，證明你的猜想．
（3）延伸探究
在（2）的條件下，當(dāng)截線CD與直線l₁所夾的鈍角為150°時，設(shè)CP=x，試探究：是否存在實數(shù)x，使△PAB的邊AB的長為4

5

？請說明理由．

數(shù)學(xué)活動-求重疊部分的面積

（1）問題情境：如圖①，將頂角為120°的等腰三角形紙片（紙片足夠大）的頂點P與等邊△ABC的內(nèi)心O重合，已知OA=2，則圖中重疊部分△PAB的面積為．
（2）探究1：在（1）的條件下，將紙片繞P點旋轉(zhuǎn)至如圖②所示位置，紙片兩邊分別與AC，AB交于點E，F(xiàn)，圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積是否相等？如果相等，請給予證明；如果不相等，請說明理由．
（3）探究2：如圖③，若∠CAB=α（0°＜α＜90°），AD為∠CAB的角平分線，點P在射線AD上，且AP=2，以P為頂點的等腰三角形紙片（紙片足夠大）與∠CAB的兩邊AC，AB分別交于點E、F，∠EPF=180°-α，求重疊部分的面積．（用α或

α

2

的三角函數(shù)值表示）

如圖1，在?ABCD中，AH⊥DC，垂足為H，AB=4

7

，AD=7，AH=

21

．現(xiàn)有兩個動點E，F(xiàn)同時從點A出發(fā)，分別以每秒1個單位長度、每秒3個單位長度的速度沿射線AC方向勻速運(yùn)動，在點E，F(xiàn)的運(yùn)動過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG與△ABC在射線AC的同側(cè)，當(dāng)點E運(yùn)動到點C時，E，F(xiàn)兩點同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）求線段AC的長；
（2）在整個運(yùn)動過程中，設(shè)等邊△EFG與△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的頂點E到達(dá)點C時，如圖2，將△EFG繞著點C旋轉(zhuǎn)一個角度α（0°＜α＜360°），在旋轉(zhuǎn)過程中，點E與點C重合，F(xiàn)的對應(yīng)點為F′，G的對應(yīng)點為G′，設(shè)直線F′G′與射線DC、射線AC分別相交于M，N兩點．試問：是否存在點M，N，使得△CMN是以∠MCN為底角的等腰三角形？若存在，請求出CM的長度；若不存在，請說明理由．

如圖1，邊長為4的正方形ABCD中，點E在AB邊上（不與點A，B重合），點F在BC邊上（不與點B，C重合）．
第一次操作：將線段EF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E落在正方形上時，記為點G；
第二次操作：將線段FG繞點G順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點F落在正方形上時，記為點H；
依次操作下去…
（1）圖2中的△EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為，求此時線段EF的長；
（2）若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH．
①請判斷四邊形EFGH的形狀為，此時AE與BF的數(shù)量關(guān)系是；
②以①中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍；
（3）若經(jīng)過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是多少？它可能是正多邊形嗎？如果是，請直接寫出其邊長；如果不是，請說明理由．