19.
問題情境:
我們知道若一個(gè)矩形的周長(zhǎng)固定,當(dāng)相鄰兩邊相等,即為正方形時(shí),面積是最大的,反過來,若一個(gè)矩形的面積固定,它的周長(zhǎng)是否會(huì)有最值呢?
探究方法:
用兩條直角邊分別為a、b的四個(gè)全等的直角三角形,可以拼成一個(gè)正方形,若a≠b,可以拼成如圖①的正方形,從而得到a
2+b
2>4×$\frac{1}{2}$ab,即a
2+b
2>2ab;若a=b,可以拼成如圖②的正方形,從而得到a
2+b
2=4×$\frac{1}{2}$ab,即a
2+b
2=2ab.
于是我們可以得到結(jié)論:a,b為正數(shù),總有a
2+b
2≥2ab,且當(dāng)a=b時(shí),代數(shù)式a
2+b
2取得最小值為2ab.
另外,我們也可以通過代數(shù)式運(yùn)算得到類似上面的結(jié)論.
∵(a-b)
2=a
2-2ab+b
2≥0,a
2+b
2≥2ab,∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,總有a
2+b
2≥2ab,且當(dāng)a=b時(shí),代數(shù)式a
2+b
2取得最小值為2ab.
仿照上面的方法,對(duì)于正數(shù)a,b試比較a+b和2$\sqrt{ab}$的大小關(guān)系.
類比應(yīng)用
利用上面所得到的結(jié)論,完成填空:
(1)當(dāng)x>0時(shí),x
2+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2x•$\frac{1}{x}$,代數(shù)式x
2+$\frac{1}{{x}^{2}}$有最小值為2.
(2)當(dāng)x>0時(shí),x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$,代數(shù)式x+$\frac{9}{x}$有最小值為6.
(3)當(dāng)x>2時(shí),x+$\frac{5}{x-2}$≥2$\sqrt{(x-2)•\frac{5}{x-2}}$+2,代數(shù)式x+$\frac{5}{x-2}$有最小值為2$\sqrt{5}$+2.
問題解決:
若一個(gè)矩形的面積固定為n,它的周長(zhǎng)是否會(huì)有最值呢?若有,求出周長(zhǎng)的最值及此時(shí)矩形的長(zhǎng)和寬;若沒有,請(qǐng)說明理由,由此你能得到怎樣的結(jié)論?