在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師要求同學(xué)們拿兩張大小不同的矩形紙片進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換探究活動(dòng)．如圖 1，在矩形紙片ABCD 和矩形紙片EFGH中，AB＝1，AD＝2，且FE＞AD，FG＞AB，點(diǎn)E 是 AD 的中點(diǎn)，矩形紙片 EFGH 以點(diǎn)E 為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中會(huì)產(chǎn)生怎樣的數(shù)量關(guān)系，提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題并加以解決．

解決問題

下面是三個(gè)學(xué)習(xí)小組提出的數(shù)學(xué)問題，請(qǐng)你解決這些問題．

（1）“奮進(jìn)”小組提出的問題是：如圖 1，當(dāng) EF 與 AB 相交于點(diǎn) M，EH 與 BC 相交于點(diǎn) N 時(shí)，求證：EM=EN．

（2）“雄鷹”小組提出的問題是：在（1）的條件下，當(dāng) AM=CN 時(shí)，AM 與 BM 有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由．

（3）“創(chuàng)新”小組提出的問題是：若矩形 EFGH 繼續(xù)以點(diǎn) E 為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) 時(shí)，請(qǐng)你在圖 2 中畫出旋轉(zhuǎn)后的示意圖，并求出此時(shí) EF 將邊 BC 分成的兩條線段的長(zhǎng)度．

（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，某小組學(xué)生將菱形的一邊與平行四邊形較短邊重合，擺拼成如圖1所示的圖形，AF經(jīng)過點(diǎn)C，連接DE交AF于點(diǎn)M，觀察發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)．

下面是兩位學(xué)生有代表性的證明思路：

思路1：不需作輔助線，直接證三角形全等；

思路2：不證三角形全等，連接BD交AF于點(diǎn)H．…

請(qǐng)參考上面的思路，證明點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)（只需用一種方法證明）；

（2）如圖2，在（1）的前提下，當(dāng)∠ABE=135°時(shí)，延長(zhǎng)AD、EF交于點(diǎn)N，求的值；

（3）在（2）的條件下，若=k（k為大于的常數(shù)），直接用含k的代數(shù)式表示的值．

（1）甲、乙兩種圖書的單價(jià)分別為多少元？

（2）學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買這兩種圖書共40本，且投入總經(jīng)費(fèi)不超過980元，則最多可以購(gòu)買甲種圖書多少本？

【題目】如圖1,,點(diǎn)為、之間一點(diǎn)，連接、,平分交于點(diǎn),平分交于點(diǎn),、交于點(diǎn),

(1)求證：;

(2)如圖2連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)若,請(qǐng)直接寫出圖中所有與相等的角.

A. AB=CD，AD=BC，AC=BD B. AC=BD，∠B=∠C=90° C. AB=CD，∠B=∠C=90° D. AB=CD，AC=BD

（1）求∠E的度數(shù)．

（2）求證：M是BE的中點(diǎn)．

設(shè)該綠茶的月銷售利潤(rùn)為w（元）（銷售利潤(rùn)＝單價(jià)×銷售量－成本）

（1）請(qǐng)根據(jù)上表，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量x的取值范圍）；

（2）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量x的取值范圍），并求出x為何值時(shí)，w的值最大？

（3）若在第一個(gè)月里，按使w獲得最大值的銷售單價(jià)進(jìn)行銷售后，在第二個(gè)月里受物價(jià)部門干預(yù)，銷售單價(jià)不得高于80元，要想在全部收回裝修投資的基礎(chǔ)上使第二個(gè)月的利潤(rùn)至少達(dá)到1700元，那么第二個(gè)月時(shí)里應(yīng)該確定銷售單價(jià)在什么范圍內(nèi)？

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C1：y=的頂點(diǎn)為M，與y軸相交于點(diǎn)N，先將拋物線C1沿x軸翻折，再向右平移p個(gè)單位長(zhǎng)度后得到拋物線C2：直線l：y=kx+b經(jīng)過M，N兩點(diǎn)．

（1）結(jié)合圖象，直接寫出不等式x2+6x+2＜kx+b的解集；

（2）若拋物線C2的頂點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求p的值及拋物線C2的解析式；

（3）若直線l沿y軸向下平移q個(gè)單位長(zhǎng)度后，與（2）中的拋物線C2存在公共點(diǎn)，

求3﹣4q的最大值．

【題目】⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過的中點(diǎn)P作⊙O的直徑PG，與弦BC相交于點(diǎn)D，連接AG、CP、PB．

（1）如圖1，求證：AG=CP；

（2）如圖2，過點(diǎn)P作AB的垂線，垂足為點(diǎn)H，連接DH，求證：DH∥AG；

（3）如圖3，連接PA，延長(zhǎng)HD分別與PA、PC相交于點(diǎn)K、F，已知FK=2，△ODH的面積為2，求AC的長(zhǎng)．

【題目】如圖，在中， ，點(diǎn)到兩邊的距離相等，且．

（1）先用尺規(guī)作出符合要求的點(diǎn)（保留作圖痕跡，不需要寫作法），然后判斷△ABP的形狀，并說明理由；

（2）設(shè)，，試用、的代數(shù)式表示的周長(zhǎng)和面積；

（3）設(shè)與交于點(diǎn)，試探索當(dāng)邊、的長(zhǎng)度變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化，若不變，試求出這個(gè)不變的值，若變化，試說明理由．