【題目】閱讀下列一段文字：在直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N兩點(diǎn)之間的距離可以用公式MN＝計(jì)算．解答下列問(wèn)題：

（1）若點(diǎn)P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q兩點(diǎn)間的距離；

（2）若點(diǎn)A（1，2），B（4，﹣2），點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷△AOB是什么三角形，并說(shuō)明理由．

意大利著名數(shù)學(xué)家裴波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，，其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.為了紀(jì)念這個(gè)著名的發(fā)現(xiàn)，人們將這組數(shù)命名為裴波那契數(shù)列.

實(shí)踐操作：

（1）寫(xiě)出裴波那契數(shù)列的前10個(gè)數(shù)；

（2）裴波那契數(shù)列的前2017個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)奇數(shù)？

（3）現(xiàn)以這組數(shù)的各個(gè)數(shù)作為正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)造如圖1的正方形系列：再分別從左到右取2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)正方形拼成如下矩形記為①、②、③、④、⑤……

（i）通過(guò)計(jì)算相對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)填寫(xiě)表（不計(jì)拼出的長(zhǎng)方形內(nèi)部的線(xiàn)段）

（ii）若按此規(guī)律繼續(xù)拼成長(zhǎng)方形，求序號(hào)為⑩的長(zhǎng)方形的面積和周長(zhǎng).

(1)請(qǐng)寫(xiě)出圖中全等三角形（不再添加輔助線(xiàn)）．

(2)求證：△ABE≌△CDF；

（小試牛刀）把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a、b、c．顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：

S梯形ABCD= ，

S△EBC= ，

S四邊形AECD= ，

則它們滿(mǎn)足的關(guān)系式為 ，經(jīng)化簡(jiǎn)，可得到勾股定理．

（知識(shí)運(yùn)用）（1）如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線(xiàn)上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個(gè)村莊的距離為 千米（直接填空）；

（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得PC=PD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點(diǎn)的位置并求出AP的距離．

（知識(shí)遷移）借助上面的思考過(guò)程與幾何模型，求代數(shù)式最小值（0＜x＜16）

數(shù)學(xué)研究課上，老師帶領(lǐng)大家探究《折紙中的數(shù)學(xué)問(wèn)題》時(shí)，出示如圖1所示的長(zhǎng)方形紙條ABCD，其中AD=BC=1，AB=CD=5．然后在紙條上任意畫(huà)一條截線(xiàn)段MN，將紙片沿MN折疊，MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK．如圖2所示：

探究：

（1）若∠1=70°，∠MKN= °；

（2）改變折痕MN位置，△MNK始終是 三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由；

應(yīng)用：

（3）愛(ài)動(dòng)腦筋的小明在研究△MNK的面積時(shí)，發(fā)現(xiàn)KN邊上的高始終是個(gè)不變的值．根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，他很快研究出△KMN的面積最小值為，此時(shí)∠1的大小可以為 °

（4）小明繼續(xù)動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)了△MNK面積的最大值．請(qǐng)你求出這個(gè)最大值．

【題目】如圖，在正方形ABCD中，連接AC，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB、AC于點(diǎn)M，N，分別以M，N為圓心，大于MN長(zhǎng)的一半為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)H，連結(jié)AH并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，再分別以A、E為圓心，以大于AE長(zhǎng)的一半為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，Q，作直線(xiàn)PQ，分別交CD，AC，AB于點(diǎn)F，G，L，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)K，連接GE，下列結(jié)論：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF=，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正確的是（　�。�

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形?

(3)位于第四象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)N，使得△BCN的面積最大?若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，及△BCN面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題目】在數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2的正方形AEFG按圖①位置放置，AD與AE在同一直線(xiàn)上，AB與AG在同一直線(xiàn)上．

⑴小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由．

⑵如圖②，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線(xiàn)段DG上時(shí)，請(qǐng)你幫他求出此時(shí)BE的長(zhǎng)．

【題目】我們定義：如圖1、圖2、圖3，在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)時(shí)，我們稱(chēng)是的“旋補(bǔ)三角形”，邊上的中線(xiàn)叫做的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”，點(diǎn)叫做“旋補(bǔ)中心”.圖1、圖2、圖3中的均是的“旋補(bǔ)三角形”.

（1）①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，“旋補(bǔ)中線(xiàn)”與的數(shù)量關(guān)系為：______；

②如圖3，當(dāng)，時(shí)，則“旋補(bǔ)中線(xiàn)”長(zhǎng)為______.

（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想“旋補(bǔ)中線(xiàn)”與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.