通過計(jì)算可知：，，，則下一個(gè)類似的式子是（    ）．

如圖，已知Rt△ABC，D₁是斜邊AB的中點(diǎn)，過D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連接BE₁交CD₁于D₂；過D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，連接BE₂交CD₁于D₃；過D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點(diǎn)D₄，D₅，…，D_n，分別記△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面積為S₁，S₂，S₃，…S_n,則

探索研究
（1）觀察一列數(shù)2，4，8，16，32，…，發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是______；根據(jù)此規(guī)律，如果a_n（n為正整數(shù)）表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，那么a₁₈=______，a_n=______；
（2）如果欲求1+3+3²+3³+…+3²⁰的值，可令S=1+3+3²+3³+…+3²⁰①
將①式兩邊同乘以3，得______②
由②減去①式，得S=______．
（3）用由特殊到一般的方法知：若數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_n，從第二項(xiàng)開始每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比的常數(shù)為q，則a_n=______（用含a₁，q，n的代數(shù)式表示），如果這個(gè)常數(shù)q≠1，那么a₁+a₂+a₃+…+a_n=______（用含a₁，q，n的代數(shù)式表示）．

將正整數(shù)從1開始依次按如圖所示的規(guī)律排成一個(gè)數(shù)陣，其中，2在第1個(gè)拐角處，3在第2個(gè)拐角處，5在第3個(gè)拐角處，7在第4個(gè)拐角處，…．那么，在第2007個(gè)拐角處的數(shù)是______．

一個(gè)叫巴爾末的中學(xué)教師成功地從光譜數(shù)據(jù)，，，，…中得到巴爾末公式，從而打開了光譜奧秘的大門，請你按照這種規(guī)律，寫出第n（n≥1）個(gè)數(shù)據(jù)是（     ）

一個(gè)紙環(huán)鏈，紙環(huán)按紅黃綠藍(lán)紫的順序重復(fù)排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則被截去部分紙環(huán)的個(gè)數(shù)可能是

閱讀理解題：
“試判斷2000¹⁹⁹⁹+1999²⁰⁰⁰的末位數(shù)字．”
∵2000¹⁹⁹⁹的末位數(shù)是0，而1999²的末位數(shù)字是1，
則1999²⁰⁰⁰=（1999²）¹⁰⁰⁰的末位數(shù)字是1，∴2000¹⁹⁹⁹+1999²⁰⁰⁰的末位數(shù)字是1．
同學(xué)們，根據(jù)閱讀材料，你能否說明“2000²⁰⁰⁵-1999²⁰⁰⁵的末位數(shù)字是多少？”寫出你的理由．

一組按規(guī)律排列的式子：

b4

a

，-

b7

a2

，

b10

a3

，-

b13

a4

…第n個(gè)式子是______（n為正整數(shù)）．

有三堆石子的個(gè)數(shù)分別為20、10、12，現(xiàn)進(jìn)行如下操作：每次從三堆的任意兩堆中分別取出1粒石子，然后把這2粒石子都加到另一堆上去．問：能否經(jīng)過若干次這樣的操作，使得
（1）三堆石子的石子數(shù)分別為4、14、24；
（2）三堆石子的石子數(shù)均為14．
如能滿足要求，請用最少的操作次數(shù)完成；如不能滿足，請說明理由．

觀察下列等式
1+3=

(1+3)×2

2

=22，
1+3+5=

(1+5)×3

2

=32，
1+3+5+7=

(1+7)×4

2

=42，
1+3+5+7+9=

(1+9)×5

2

=52，
‥‥‥
（1）按規(guī)律填空：1+3+5+7+…+99=______；
（2）計(jì)算1+3

1

6

+5

1

12

+7

1

20

+9

1

30

+11

1

42

的值．