Question

13．汽車(chē)沿著指向從甲地開(kāi)往乙地．
（1）若在一半路程的平均速度為v₁，后一半路程為v₂，則汽車(chē)全程的平均速度$\overline{v}$為多少？
（2）若汽車(chē)在全程所用時(shí)間的前一半的速度為v₁和后一半的速度為v₂（v₁≠v₂），則全程平均速度是多少？
（3）兩種情況下的平均速度哪個(gè)大？

Answer 1

分析 （1）由速度公式的變形公式求出汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后由平均速度公式求出全程的平均速度；
（2）由速度公式的變形公式求出前一半時(shí)間通過(guò)的路程和后一半時(shí)間通過(guò)的路程，然后由平均速度公式求出全程的平均速度；
（3）利用作差法比較兩者平均速度的大小關(guān)系．

解答 解：
（1）設(shè)甲乙兩地間的距離為2s，則前半段與后半段的路程均為s，
由v=$\frac{s}{t}$得，汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為：
t₁=$\frac{s}{{v}_{1}}$，t₂=$\frac{s}{{v}_{2}}$，
則汽車(chē)全程的平均速度：
$\overline{v}$=$\frac{2s}{{t}_{1}+{t}_{2}}$=$\frac{2s}{\frac{s}{{v}_{1}}+\frac{s}{{v}_{2}}}$=$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$；
（2）設(shè)全程的時(shí)間為2t，
則前一半時(shí)間通過(guò)的路程為s₁=v₁t，后一半時(shí)間通過(guò)的路程為s₂=v₂t，
所以，全程的平均速度：
v=$\frac{{s}_{1}+{s}_{2}}{2t}$=$\frac{{v}_{1}t+{v}_{2}t}{2t}$=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$；
（3）因v₁≠v₂，
所以，v-$\overline{v}$=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$-$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$=$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）^{2}-4{v}_{1}{v}_{2}}{2（{v}_{1}+{v}_{2}）}$=$\frac{（{v}_{1}-{v}_{2}）^{2}}{2（{v}_{1}+{v}_{2}）}$＞0，
則（2）的平均速度大于（1）的平均速度．
答：（1）汽車(chē)全程的平均速度$\overline{v}$為$\frac{2{v}_{1}{v}_{2}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$；
（2）全程平均速度是$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$；
（3）通過(guò)比較可知（2）的平均速度大于（1）的平均速度．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求汽車(chē)的平均速度問(wèn)題，熟練應(yīng)用平均速度公式及其變形公式即可正確解題，解題時(shí)要注意，平均速度是物體的路程與所用時(shí)間的比值，求平均速度應(yīng)先求出路程與所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．