Question

2．在科學(xué)研究中，常利用物體某些性質(zhì)的互補(bǔ)性，制成各種器件．請對以下問題作出解答．
（1）研究表明，導(dǎo)體的電阻隨溫度t變化的規(guī)律為R=R₀（1+αt），其中α稱為電阻溫度系數(shù)．在一定的溫度范圍內(nèi)α是與溫度無關(guān)的常量．金屬的電阻一般隨溫度的升高而增大，具有正溫度系數(shù)；而某些非金屬如碳等則相反，具有負(fù)溫度系數(shù)．利用具有正負(fù)電阻溫度系數(shù)的兩種材料，可以制成阻值在一定溫度范圍內(nèi)不隨溫度變化的電阻．現(xiàn)將橫截面積相同的銅棒和碳棒串接成1.0m長的導(dǎo)體，要求其阻值在0℃附近不隨溫度變化，求所需碳棒的長度．已知：在0℃附近，銅的電阻溫度系數(shù)為3.9×10^-3℃^-1，該銅棒每米長的電阻為1.7×10^-5Ω；碳的電阻溫度系數(shù)為-5.0×10^-4℃^-1，該碳棒每米長的電阻為3.5×10^-2Ω，銅棒與碳棒的尺寸隨溫度的變化可忽略．
（2）如圖（a）所示，在相同的直筒中，分別用不計厚度、質(zhì)量和摩擦的活塞封閉體積為V₁的不同氣體Ⅰ、Ⅱ，此時氣體溫度均為T₁，活塞距直圓筒底高為H₁．加熱直筒內(nèi)氣體，氣體溫度為T₂時，兩活塞均上升到H₂．兩直筒中活塞距筒底的高度H隨溫度T變化的情況如圖（b）所示．現(xiàn)用兩只活塞在同一直筒中封閉溫度為T₁的一定量的上述兩種氣體，封閉在直筒中的兩種氣體被活塞隔開，總體積仍為V₁．試根據(jù)H-T圖提供的信息，判斷封入上述兩種氣體的初始體積之比滿足什么條件時，被封閉氣體的溫度從T₁升高到T₂的過程中，總體積隨溫度升高均勻增大．

Answer 1

分析 （1）篩選有用信息，根據(jù)題意應(yīng)用電阻定律列方程；再據(jù)總電阻不變，即可求出碳棒的長度．
（2）分析圖象得出氣體的高度與線性變化的高度差的變化情況，據(jù)此概況氣體的互補(bǔ)特性得出氣體的比例．

解答 解：（1）設(shè)0℃碳棒的長度為x（m），則0℃時銅棒的長度（1-x）（m），
根據(jù)R=R₀（1+αt）可得：
銅棒的電阻為R₁=（1-x）R₁₀（1+α₁t）=1.7×10^-5Ω×（1-x）×（1+3.9×10^-3℃^-1t），
碳棒的電阻R₂=xR₂₀（1+α₂t）=3.5×10^-2Ω×x×（1-5.0×10^-4℃^-1t），
所以總電阻為R=R₁+R₂=1.7×10^-5Ω×（1-x）×（1+3.9×10^-3℃^-1t）+3.5×10^-2Ω×x×（1-5.0×10^-4℃^-1t），
要使得在0℃附近總電阻不隨溫度變化，則有R為定值，所以，式中t的系數(shù)必須為零，
即1.7×10^-5Ω×（1-x）×3.9×10^-3℃^-1-3.5×10^-2Ω×x×5.0×10^-4℃^-1=0，
解得：x≈3.8×10^-3m．
（2）在圖b中，以溫度為T₁和T₂時為端點(diǎn)，用直線連接．
通過測量的本題溫度時的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)氣體Ⅰ的高度與線性變化的高度差值始終等于氣體Ⅱ的高度與線性變化的高度差值的一半，
因此，可利用兩種氣體的互補(bǔ)特性，取氣體Ⅰ的體積等于氣體Ⅱ體積的兩倍，從而使直筒中氣體的總體積封閉在溫度為T₁時仍為V₁，且隨溫度的升高均勻增大；即初始時氣體Ⅰ的體積與氣體Ⅱ的體積之比為2．
答：（1）所需碳棒的長度為3.8×10^-3m．
（2）兩種氣體的初始體積之比為2時，被封閉氣體的溫度從T₁升高到T₂的過程中，總體積隨溫度升高均勻增大．

點(diǎn)評 本題考查了電阻定律的應(yīng)用和氣體的特點(diǎn)，關(guān)鍵是分析圖象得出氣體的高度與線性變化的高度差的變化情況，只有正確理解本題即可迎刃而解；再根據(jù)題目所給條件，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解題．