Question

12．如圖所示的電阻網(wǎng)絡中，AC、CB、BD、DA四邊形的電阻為r，其余各邊的電阻都相等，但阻值未知，測得AB兩點之間的總電阻為R．當在C、D兩點之間連接一段阻值為R的電阻時，AB兩點之間的總電阻R′=R；若將AC、CB、BD、DA四根電阻絲皆換成阻值為2r的電阻，則AB兩點之間的總電阻R〞=$\frac{2rR}{2r-R}$．

Answer 1

分析 分析電路圖，AB兩點之間相當于AC與CB之間的電阻之和、AD與DB之間的電阻之和與其余電阻并聯(lián)，設其余部分的電阻為R₀，
（1）當在C、D兩點之間連接一段阻值為R的電阻時，由于電路是網(wǎng)點對稱的則C、D兩點等勢，對電路的電阻變化沒有影響；
（2）已知2r、2r與其余電阻并聯(lián)后的總電阻為R，利用并聯(lián)電阻的關(guān)系求出2r、2r之外的部分電阻R₀的大小；
當把將AC、CB、BD、DA四根電阻絲皆換成阻值為2r的電阻，而R₀不變，再根據(jù)并聯(lián)電阻的關(guān)系求出A、B間的總電阻．

解答 解：分析電路圖，由于AC與CB之間的電阻之和與AD與DB之間的電阻之和都是2r，則AB兩點之間相當于2r、2r與其余電阻并聯(lián)，設其余部分的電阻為R₀，
（1）當在C、D兩點之間連接一段阻值為R的電阻時，由于電路是網(wǎng)點對稱的則C、D兩點等勢，對電路的電阻變化沒有影響；所以總電阻仍為R；
（2）設其余部分的電阻為R₀，由題知，2r、2r與其余電阻并聯(lián)后的總電阻為R，
則：$\frac{1}{R}$=$\frac{1}{2r}+\frac{1}{2r}+\frac{1}{{R}_{0}}$，
所以，R₀=$\frac{rR}{r-R}$，
當把將AC、CB、BD、DA四根電阻絲皆換成阻值為2r的電阻，R₀不變，
則：$\frac{1}{R″}$=$\frac{1}{2r×2}$+$\frac{1}{2r×2}$+$\frac{1}{{R}_{0}}$，
所以，R″=$\frac{2r{R}_{0}}{2r+{R}_{0}}$=$\frac{2r×\frac{rR}{r-R}}{2r+\frac{rR}{r-R}}$=$\frac{2rR}{2r-R}$．
故答案為：R；$\frac{2rR}{2r-R}$．

點評 本題考查了學生對并聯(lián)電阻特點的掌握和運用，關(guān)鍵是知道并聯(lián)電路的總電阻與各電阻之間的關(guān)系．