Question

16．如圖所示，圓心為原點(diǎn)、半徑為R的圓將xOy平面分為兩個(gè)區(qū)域，即圓內(nèi)區(qū)域Ⅰ和圓外區(qū)域Ⅱ．區(qū)域Ⅰ內(nèi)有方向垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁．平行于x軸的熒光屏垂直于xOy平面，放置在坐標(biāo)y=-2.2R的位置．一束質(zhì)量為m、電荷量為q、動(dòng)能為E₀的帶正電粒子從坐標(biāo)為（-R，0）的A點(diǎn)沿x正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，當(dāng)區(qū)域Ⅱ內(nèi)無(wú)磁場(chǎng)時(shí)，粒子全部打在熒光屏上坐標(biāo)為（0，-2.2R）的M點(diǎn)，且此時(shí)，若將熒光屏沿y軸負(fù)方向平移，粒子打在熒光屏上的位置不變．若在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加上方向垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂，上述粒子仍從A點(diǎn)沿x軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，則粒子全部打在熒光屏上坐標(biāo)為（0.4R，-2.2R）的 N點(diǎn)．不計(jì)重力和粒子間的相互作用，求：
（1）打在M點(diǎn)和N點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)速度v₁、v₂的大小．
（2）在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁、B₂的大小和方向．
（3）若區(qū)域Ⅱ中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\sqrt{3}$ B₁，方向與區(qū)域Ⅰ中的相反，試求粒子從A點(diǎn)沿x軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ后的運(yùn)動(dòng)周期．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中洛倫茲力不做功，粒子的動(dòng)能不變，根據(jù)動(dòng)能的大小求出粒子的速度大�。�
（2）抓住粒子全部打在熒光屏上坐標(biāo)為（0，-2.2R）的M點(diǎn)，根據(jù)熒光屏沿y軸負(fù)方向平移，粒子打在熒光屏上的位置不變，得出粒子在磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ中的軌跡，結(jié)合半徑公式求出磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，根據(jù)偏轉(zhuǎn)方向確定磁場(chǎng)的方向；根據(jù)粒子全部打在熒光屏上坐標(biāo)為（0.4R，-2.2R）的 N點(diǎn)，作出軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，從而得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向．
（3）作出粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡，抓住粒子須由II區(qū)再到A點(diǎn)才完成一個(gè)周期，通過(guò)幾何關(guān)系，結(jié)合粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間求出粒子從A點(diǎn)沿x軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ后的運(yùn)動(dòng)周期．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力不做功，打在M點(diǎn)和N點(diǎn)的粒子動(dòng)能均為E₀，速度v₁、v₂大小相等，設(shè)為v，由E₀=$\frac{1}{2}$mv²
得：v=$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{m}}$．
（2）如圖所示，區(qū)域Ⅱ中無(wú)磁場(chǎng)時(shí)，粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)四分之一圓周后，從C點(diǎn)沿y軸負(fù)方向打在M點(diǎn)，軌跡圓心是O₁點(diǎn)，半徑為：r₁=R，區(qū)域Ⅱ有磁場(chǎng)時(shí)，粒子軌跡圓心是O₂點(diǎn)，半徑為r₂，由幾何關(guān)系得：r=（1.2R）²+（r₂-0.4R）²，
；
解得：r₂=2R
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：B=$\frac{mv}{qr}$；故有：B₁=$\frac{\sqrt{2{mE}_{0}}}{qR}$，方向垂直xOy平面向外．  
B₂=$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{2qR}$，方向垂直xOy平面向里．
（3）如圖，由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得得在II區(qū)的半徑為：r₃=$\frac{{r}_{1}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}R}{3}$，得：θ=60°；
；
粒子須由II區(qū)再到A點(diǎn)才完成一個(gè)周期，故有：360n=（90+60）n'，
$\frac{n}{n'}$=$\frac{5}{12}$，T=（$\frac{1}{4}$×$\frac{2π{r}_{1}}{v}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{2π{r}_{3}}{v}$）×12，
代入數(shù)據(jù)得：T=$\frac{（18+16\sqrt{3}）πR}{3}\sqrt{\frac{m}{2{E}_{0}}}$．
答：（1）打在M點(diǎn)和N點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)速度v₁、v₂的大小均為$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{m}}$；（2）B₁=$\frac{\sqrt{2{mE}_{0}}}{qR}$，方向垂直xOy平面向外；B₂=$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{2qR}$，方向垂直xOy平面向里；（3）粒子從A點(diǎn)沿x軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ后的運(yùn)動(dòng)周期為T=$\frac{（18+16\sqrt{3}）πR}{3}\sqrt{\frac{m}{2{E}_{0}}}$．

點(diǎn)評(píng) 處理帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，確定圓心、半徑和圓心角是基礎(chǔ)，通過(guò)半徑公式和周期公式，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．