Question

（2012?貴港一模）小明的父親為了解決全家人夏季淋浴問題，想自己動手制作一個太陽能淋浴器．他買來了一個圓柱形金屬桶，一個壓力傳感開關(guān)，兩個圓柱體以及細線若干．初步設(shè)計如圖所示，其中A、B兩個圓柱體通過細繩與壓力傳感開關(guān)相連．已知：圓柱形金屬桶的底面積S_l=0.5m²，高h₁=50cm；壓力傳感開關(guān)的作用是當它受到豎直向下的拉力達到10N時閉合，通過控制水泵從進水口向桶內(nèi)注水，當拉力等于4N時斷開，水泵停止向桶內(nèi)注水；兩個圓柱體的底面積S₂=40cm²，高h₂=12cm，每個圓柱體重G=6N．要求當水桶內(nèi)儲水量達200L時停止注水，當儲水量剩余40L時開始注水．請你幫助小明的父親在其初步設(shè)計的基礎(chǔ)上，求出滿足上述要求的兩段細線的長度．（壓力傳感開關(guān)與金屬桶間的距離、細繩質(zhì)量與體積、計算儲水量時圓柱體排水體積忽略不計）

Answer 1

分析：分兩種情況分析：
（1）壓力傳感開關(guān)受到豎直向下的拉力達到10N時閉合，通過控制水泵從進水口向桶內(nèi)注水．由于壓力傳感開關(guān)受到豎直向下的拉力等于圓柱體重減去受到的浮力，可求圓柱體受到的浮力，利用阿基米德原理求圓柱體排開水的體積，
進而求出圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度，此時桶內(nèi)水面處于右圖位置2處，桶內(nèi)水的體積V₃=40L，
根據(jù)h₃=

V3

S1

得出水面2與桶底3之間的深度，可求圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h₇、圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h₉；
（2）壓力傳感開關(guān)受到豎直向下的拉力達到4N時閉合，通過控制水泵從進水口向桶內(nèi)注水．由于壓力傳感開關(guān)受到豎直向下的拉力等于圓柱體重減去受到的浮力，可求圓柱體受到的浮力，利用阿基米德原理求圓柱體排開水的體積，
進而求出圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度、圓柱體露出水面深度為圓柱體頂端8與水面1之間的長度h₅，圓柱體A浸入水中的深度為4到5間的深度h₈，此時桶內(nèi)水面處于如圖的位置1處，桶內(nèi)水的容積為V₄=200L，根據(jù)h₄=

V4

S1

得出水面1與桶底3之間的深度，進而求出圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h₇、圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h₉，水面1到桶底6之間的長度h₆，
最后求出，圓柱體A頂端到桶底的距離就是拴在圓柱體A上繩子長度L₁=h₆-h₅，也就是圖中5與9之間的高度；
圓柱體A、B之間的繩子長度L₂=h₄-h_浸2-h₇．

解答：解：
（1）壓力傳感開關(guān)受到豎直向下的拉力達到10N時閉合，通過控制水泵從進水口向桶內(nèi)注水．由于壓力傳感開關(guān)受到豎直向下的拉力等于圓柱體重減去受到的浮力，圓柱體受到的浮力：F_浮1=2G-F₁=2×6N-10N=2N，
圓柱體排開水的體積：V_排1=

F浮1

ρ水g

=

2N

1×103kg/m3×10N/kg

=2×10^-4m³=200cm³，
圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度：
h_浸1=

V排1

S2

=

2×10-4m3

40×10-4m2

=0.05m=5cm，
此時桶內(nèi)水面處于右圖位置2處，桶內(nèi)水的體積V₃=40L，
根據(jù)h₃=

V3

S1

=

40×10-3m3

0.5m2

=0.08m=8cm得出水面2與桶底3之間的深度為8cm，
圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h₇=h₃-h_浸1=8cm-5cm=3cm，
圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h₉=h₂-h_浸1=12cm-5cm=7cm；
（2）壓力傳感開關(guān)受到豎直向下的拉力達到4N時閉合，通過控制水泵從進水口向桶內(nèi)注水．由于壓力傳感開關(guān)受到豎直向下的拉力等于圓柱體重減去受到的浮力，
圓柱體受到的浮力：F_浮2=2G-F₂=2×6N-4N=8N，
圓柱體排開水的體積：V_排2=

F浮2

ρ水g

=

8N

1×103kg/m3×10N/kg

=8×10^-4m³=800cm³，
圓柱體浸入水中深度為水面2與圓柱體下表面7之間的深度：
h_浸2=

V排2

S2

=

800cm3

40cm2

=20cm，
圓柱體露出水面深度為圓柱體頂端8與水面1之間的長度h₅=2h₂-h_浸2=2×12cm-20cm=4cm，圓柱體A浸入水中的深度為4到5間的深度h₈=h₂-h₅=12cm-4cm=8cm，此時桶內(nèi)水面處于如圖的位置1處，桶內(nèi)水的容積為V₄=200L，根據(jù)h₄=

V4

S1

=

200×10-3m3

0.5m2

=0.4m=40cm得出水面1與桶底3之間的深度為40cm，
圓柱體下表面7與桶底3之間的深度h₇=h₃-h_浸1=8cm-5cm=3cm，
圓柱體B露出水面深度為9與2之間的長度h₉=h₂-h_浸1=12cm-5cm=7cm；
水面1到桶底6之間的長度h₆=h₁-h₄=50cm-40cm=10cm，圓柱體A頂端到桶底的距離就是拴在圓柱體A上繩子長度：
L₁=h₆-h₅=10cm-4cm=6cm，也就是圖中5與9之間的高度；
圓柱體A、B之間的繩子長度：L₂=h₄-h_浸2-h₇=40cm-20cm-3cm=17cm．
答：兩段細線的長度分別為6cm、17cm．

點評：本題為力學(xué)綜合題，考查了學(xué)生對阿基米德原理、力的合成的掌握和運用，畫出兩種情況下的示意圖幫助解題、理清思路是關(guān)鍵，是一道復(fù)雜的競賽題！