Question

4．如圖所示，在河中間固定一個細(xì)長圓管，管內(nèi)有一輕質(zhì)活塞，活塞下端位于水面，面積為1cm²，質(zhì)量不計，大氣壓強(qiáng)為1.0×10⁵Pa．現(xiàn)將活塞緩慢提高15m，則在該過程中外力對活塞做功為（　　）

• A． 50J
• B． 100J
• C． 150J
• D． 200J

Answer 1

分析 （1）由于大氣壓強(qiáng)的限制根據(jù)P=ρgh的變形式求出活塞上升時，管內(nèi)、外水位差的最大值，由于河水體積很大且水管的內(nèi)徑很細(xì)，故管內(nèi)水位上升時，管外水位的降低量h_外可以忽略不計，得出管內(nèi)水面（或活塞）相對于河岸的升高量和真空部分的高度．
（2）水上升階段：以活塞為研究對象，它受到向上的力F、向下的大氣壓力和管內(nèi)的水向上的壓力，根據(jù)力的平衡條件得出任意時刻管內(nèi)、外水位差為h時拉力的表達(dá)式，進(jìn)一步求出力F的平均值，根據(jù)W=Fs求出此階段拉力做的功．
（3）水不上升階段：力F做的功等于活塞克服大氣壓力做的功，根據(jù)F=PS和W=Fs求出此階段拉力做的功；整個過程中，力F做的功等于兩者之和．

解答 解：（1）由于大氣壓強(qiáng)的限制，活塞上升時，
管內(nèi)、外水位差存在一個最大值h₀=$\frac{{p}_{0}}{ρg}$=$\frac{1.0×1{0}^{5}pa}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=10m；
所以管內(nèi)水面（或活塞）相對于河岸的升高量等于管內(nèi)、外水位差，即h₁=h₀=10m；
活塞繼續(xù)上升了h₂=H-h₁=15m-10m=5m時，水面不動，活塞與水之間是真空．
（2）水上升階段：設(shè)任意時刻向下的大氣壓力和管內(nèi)的水向上的壓力為F_下、F_上，管內(nèi)、外水位差為h，則：
則有F_下=p₀S，F(xiàn)_上=（p₀-ρgh）S，
由于活塞始終平衡，故F-F_下+F_上=0，即F-p₀S+（p₀-ρgh）S=0，
解得：F=ρghS．
可見，力F跟h成正比，F(xiàn)在h₁距離上的平均值為F=$\frac{1}{2}$ρgh₁S．
F在h₁距離上的功為W_F=Fh₁=$\frac{1}{2}$ρgh₁S•h₁=$\frac{1}{2}$×1.0×10³kg/m³×10N/kg×10m×1×10^-4m²×10m=50J．
（3）水不上升階段：力F做的功等于活塞克服大氣壓力做的功，
故W_F′=p₀Sh₂=1.0×10⁵Pa×1×10^-4m²×5m=50J．
所以整個過程中，力F做的功等于W_F+W_F′=50J+50J=100J．
故選B．

點評 本題考查了壓強(qiáng)公式和做功公式的計算；關(guān)鍵是知道活塞上升時會分兩個階段，即水上升階段和水不上升階段；難點是會對活塞進(jìn)行受力分析得出水上升階段拉力的大小．