Question

19．如圖所示，小圓筒A底部有一個(gè)半徑為r的圈孔，大圓筒B套于A的外部，里外圓筒中分別盛有密度為ρ₁和ρ₂的液體，液面相平，距A的底部為h．一半徑略大于r的圓球蓋住圓孔，試求圓球所受液體的浮力．

Answer 1

分析 （1）由于上下半球浸在不同液體里，所以不能直接用阿基米德原理計(jì)算小球受到的浮力．可以把它拆成上下兩個(gè)半球，用密度為ρ₂的液體對(duì)球向上的壓力與密度為ρ₁的液體對(duì)球向下的壓力之差來求浮力．
（2）由于球面上不同部分受到液體壓力不同（深度不同），為求上下半球面受到的液體壓力，需要構(gòu)建輔助圖，即只剩下半球浸沒在同一液體中，根據(jù)壓力差法分別求出上下半球面受到的液體壓力，最后又用壓力差法求整個(gè)球受到的浮力．

解答 解：本題只能根據(jù)浮力產(chǎn)生的原因來求解，即壓力差法求浮力．
小球的上表面是一個(gè)半球面，且各部分壓強(qiáng)都不相等，我們觀察下面兩圖可知，液體對(duì)下半球的壓力應(yīng)該相等，即F₁=F₂；在圖2中F_浮2=F₂-F′，所以F₁=F₂=F_浮2+F′①，

同理下面兩圖中，液體對(duì)上半球的壓力應(yīng)該相等，即F₃=F₄；在圖4中，F(xiàn)_浮1=F-F₄，
所以F₃=F₄=F-F_浮1 ②

所以小球上下表面的壓力差：
F₁-F₃=F_浮2+F′-（F-F_浮1）=F_浮1+F_浮2+F′-F
=ρ₁g×$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$πr³+ρ₂g×$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$πr³+ρ₂ghπr²-ρ₁ghπr²
=（ρ₁+ρ₂）g$\frac{2}{3}$πr³+（ρ₂-ρ₁）ghπr²
答：圓球所受液體的浮力為（ρ₁+ρ₂）g$\frac{2}{3}$πr³+（ρ₂-ρ₁）ghπr² ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了壓力差法、阿基米德原理、液體壓強(qiáng)等知識(shí)，求某個(gè)半球面受到的液體壓力時(shí)，運(yùn)用等效法的思想構(gòu)建輔助圖是關(guān)鍵．