Question

4．一帶閥門的圓柱形容器，底面積是200cm²，內(nèi)裝有15cm深的水，正方體M邊長為10cm，重30N，用細(xì)繩懸掛放入水中，有$\frac{4}{5}$的體積浸入水中，如圖所示，試求：
（1）正方體M的密度；
（2）正方體M受到的浮力以及此時(shí)水對(duì)容器底部的壓強(qiáng)；
（3）若細(xì)繩能承受的最大拉力是25N，從圖示狀態(tài)開始，通過閥門K緩慢放水，當(dāng)容器中水面下降了多少cm時(shí)，細(xì)繩剛好被拉斷？（g取10N/kg，水的密度為1.0×10³kg/m³）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方體M邊長為10cm，可求其體積大小，利用密度公式ρ=$\frac{m}{V}$求密度．
（2）由于用細(xì)繩懸掛放入水中，有$\frac{4}{5}$的體積浸入水中，求出V_排，利用F_浮=ρ_水gV_排即可求出M受到的浮力；
求出正方體M浸入水中后液面的總高度，利用p=ρgh計(jì)算壓強(qiáng)；
（3）由正方體重力和細(xì)繩所能承受的最大拉力即可求出浮力．利用F_浮=ρ_水gV_排即可求出正方體M浸入水中的體積，然后可求水面下降的高度．

解答 解：
（1）正方體M的質(zhì)量：m_M=$\frac{{G}_{M}}{g}$=$\frac{30N}{10N/kg}$=3kg，
其體積為：V_M=L³=（10cm）³=1000cm³=1×10^-3m³，
所以，正方體的密度：ρ_M=$\frac{{m}_{M}}{{V}_{M}}$=$\frac{3kg}{1×1{0}^{-3}{m}^{3}}$=3×10³kg/m³；
（2）由于用細(xì)繩懸掛放入水中，有$\frac{4}{5}$的體積浸入水中，
則：V_排=$\frac{4}{5}$×1×10^-3m³=8×10^-4m³，
正方體受到的浮力：
F_浮1=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×8×10^-4m³=8N；
設(shè)M放入水中后水深為h′，則有S_容h′=S_容h+V_排1，
則此時(shí)水的深度：h′=h+$\frac{{V}_{排}}{{S}_{容}}$=0.15m+$\frac{8×1{0}^{-4}{m}^{3}}{200×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.19m．
此時(shí)水對(duì)容器底部的壓強(qiáng)：
p=ρ_水gh′=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.19m=1.9×10³Pa．
（3）繩子被拉斷的瞬間，正方體M受到的浮力：
F_浮′=G-F_拉=30N-25N=5N，
此時(shí)正方體M浸沒在水中的體積：
${V}_{浸}^{′}$=${V}_{排}^{′}$=$\frac{{F}_{浮}^{′}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{5N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=5×10^-4m³，
水面下降的高度：
△h=$\frac{△{V}_{浸}}{{S}_{M}}$=$\frac{\frac{4}{5}×1.0×1{0}^{-3}{m}^{3}-5×1{0}^{-4}{m}^{3}}{（0.1m）^{2}}$=3×10^-2m=3cm．
答：（1）正方體M的密度為3×10³kg/m³；
（2）正方體M受到的浮力為8N，此時(shí)水對(duì)容器底部的壓強(qiáng)為1.9×10³Pa；
（3）當(dāng)容器中水面下降了3cm時(shí)，細(xì)繩剛好被拉斷．

點(diǎn)評(píng) 此題綜合性很強(qiáng)，且難度很大；此題的難點(diǎn)在（3），已知繩子斷的臨界拉力，增加的拉力就是排出水的重力，根據(jù)F_浮=ρ_水gL²h可求出此時(shí)A浸入水中深度，然后問題可解．