Question

（2011?門頭溝區(qū)二模）某科技小組的同學設計了一個多開關控制的模擬電路，如圖所示，電源兩端電壓不變．當開關S、S₁閉合，S₂、S₃斷開時，電壓表V₁的示數(shù)為U₁，電流表A示數(shù)為I₁，電阻R₂消耗的電功率為P₂；當開關S、S₂閉合，S₁、S₃斷開時，電壓表V₁示數(shù)為U₁′，電壓表V₂的示數(shù)為U₂，電流表A的示數(shù)為I₂，電阻R₂消耗的電功率為P₂′，電阻R₃消耗的電功率為P₃；當開關S、S₂、S₃閉合，S₁斷開時，電壓表V₂的示數(shù)為U₂′，電流表A的示數(shù)為I₃．已知：U₁：U₂=20：27，P₂：P₂′=25：9，U₂′=7.2V，P₃=3.6W．
求：（1）電流表示數(shù)I₁與I₂的比值   
（2）電阻R₁的阻值  
（3）電源電壓．

Answer 1

分析：首先對電路圖進行分析，①開關S、S₁閉合，S₂、S₃斷開時，電阻R₂和R₃串聯(lián)，電壓表V₁測量的是電阻R₂兩端的電壓，電壓表V₂測量的是電源電壓，電流表A測量的是整個電路中的電流；電壓表V₁的示數(shù)為U₁，電流表A示數(shù)為I₁，電阻R₂消耗的電功率為P₂．
②當開關S、S₂閉合，S₁、S₃斷開時，電阻R₁、R₂和R₃串聯(lián)，電壓表V₁測量的是電阻R₁和R₂兩端的電壓，電壓表V₂測量的是R₂和R₃兩端的電壓，電流表A測量的是整個電路中的電流；電壓表V₁示數(shù)為U₁′，電壓表V₂的示數(shù)為U₂，電流表A的示數(shù)為I₂，電阻R₂消耗的電功率為P₂′．
③當開關S、S₂、S₃閉合，S₁斷開時，電阻R₁和R₂串聯(lián)，電壓表V₁測量的是電源電壓，電壓表V₂測量的是R₂兩端的電壓，電流表A測量的是整個電路中的電流；電壓表V₂的示數(shù)為U₂′，電流表A的示數(shù)為I₃．
（1）題目中告訴了①和②中電阻R₂兩次所消耗的功率之比，則可由功率公式P=I²R表達出功率值，即可計算出電流表示數(shù)I₁與I₂的比值；
（3）從①和②知道U₁：U₂=20：27，可利用串聯(lián)電路的特點和歐姆定律的公式變形U=IR列出

U1

U2

的一個等式，便可以計算出電阻R₂與R₃的比值；從①和②又知道了I₁與I₂的比值，可利用串聯(lián)電路電阻的特點和歐姆定律的公式變形U=IR列出兩個關于電源電壓的等式，便可以計算出電阻R₁與R₂的比值；從③可以知道U₂′=7.2V，此時電路中的電流為I₃，設電源電壓為U，電阻R₁和R₂串聯(lián)，利用串聯(lián)電路電阻的特點和歐姆定律，可以列出一個關于等式U₂′的等式，從而可以計算出電源電壓．
（2）從②可以知道電阻R₃消耗的電功率為P₃=3.6W，可利用歐姆定律計算出此時電路中的電流I₂，再利用公式P=I²R列出電阻R₃消耗的電功率的一個等式，從而可以計算出電阻R₁的阻值．

解答：解：
（1）∵從①和②可以知道P₂：P₂′=25：9，
∴

P2

P2′

=

I12R2

I22R2

=

I12

I22

=

25

9

，即

I1

I2

=

5

3

；
（3）從①和②知道U₁：U₂=20：27，

I1

I2

=

5

3

，從串聯(lián)電路電阻的特點和歐姆定律可知，
∴

U1

U2

=

I1R2

I2( R2+R3)

=

5×R2

3×(R2+R3)

=

20

27

，
化簡得：

5R2

R2+R3

=

20

9

，
解得：

R2

R3

=

4

5

，即：R₃=

5

4

R₂；
從①和②計算出

I1

I2

=

5

3

，即：I₂=

3

5

I₁，而電源電壓保持不變，
∴I₁（R₂+R₃）=I₂（R₁+R₂+R₃） 
即：I₁（R₂+

5

4

R₂）=

3

5

I₁（R₁+R₂+

5

4

R₂）
化簡得：2R₁=3R₂，
解得：

R1

R2

=

3

2

，即R₂=

2

3

R₁；
 從③可以知道U₂′=7.2V，此時電路中的電流為I₃，設電源電壓為U，
∴U₂′=I₃R₂=

U

R1+R2

×R₂=7.2V，
而R₂=

2

3

R₁，
則 

U

R1+ 2 3 R1

×

2

3

R₁=7.2V，
化簡得：

3U

15

=7.2V，
解得：U=18V；
（2）從②可以知道電阻R₃消耗的電功率為P₃=3.6W，
此時電路中的電流為：I₂=

U

R1+R2+ R3

=

18V

R1+R2+R3

=

18V

R1+R2+  5 4 R2

=

18V

R1+  2 3 R1+ 5 4 × 2 3 R1

=

18V

5 2 R1

=

36V

5R1

，
則P₃=I₂²R₃=（

36V

5R1

）²×

5

4

R₂=（

36V

5R1

）²×

5

4

×

2

3

R₁=3.6W，
解得：R₁=12Ω．
答：（1）電流表示數(shù)I₁與I₂的比值為5：3．
（2）電阻R₁的阻值為12Ω．
（3）電源電壓為18V．

點評：本題考查了學生對串、并聯(lián)電路的判斷，串聯(lián)電路的特點以及歐姆定律的應用．本題難點在于很多同學無法將三種狀態(tài)下的功率關系及電壓關系聯(lián)系在一起，故無法找到突破口．解答此類問題時，可將每一種情況中的已知量和未知量都找出來，仔細分析找出各情況中的關聯(lián)，即可列出等式求解．