Question

13．如圖所示，甲、乙兩個實心均勻正方體分別放在水平地面上，它們對地面的壓強相等，若在兩個正方體的上部，沿水平方向分別截去不同高度的一部分后，剩余部分對水平地面的壓力相等．請你比較甲和乙切去的高度的大小關(guān)系，要求寫出推導(dǎo)分析過程，推導(dǎo)過程中需要的物理量請?zhí)崆霸O(shè)定．

Answer 1

分析 由于兩個物體都是規(guī)則的實心柱狀物體，可利用p=ρgh先判斷出兩個物體的密度大小，然后表示出切除不同高度后，剩余部分對水平面的壓力相等，結(jié)合甲乙對地面的壓強相等分析甲和乙切去的高度的大小關(guān)系．

解答 證明：對于地面上放置的實心柱狀物體，地面受到的壓強：p=$\frac{F}{S}$=$\frac{G}{S}$=$\frac{mg}{S}$=$\frac{ρVg}{S}$=$\frac{ρShg}{S}$=ρgh；
因為兩物體對水平面的壓強相同，則p=ρ_甲gh_甲=ρ_乙gh_乙，且h_甲＞h_乙，故ρ_甲＜ρ_乙；
當(dāng)從水平方向截去不同高度h后，剩余的甲物體對水平面的壓力：F_甲=ρ_甲g（h_甲-h_甲′）³；
剩余的乙物體對水平面的壓力：F_乙=ρ_乙g（h_乙-h_乙′）³；
由于F_甲=F_乙，即ρ_甲gh_甲²（h_甲-h_甲′）=ρ_乙gh_乙²（h_乙-h_乙′）；
ρ_甲gh_甲（h_甲²-h_甲h_甲′）=ρ_乙gh_乙（h_乙²-h_乙h_乙′）
因為ρ_甲gh_甲=ρ_乙gh_乙，所以h_甲²-h_甲h_甲′=h_乙²-h_乙h_乙′
即$\frac{{h}_{甲}-{h}_{甲}′}{{h}_{乙}}$=$\frac{{h}_{乙}-{h}_{乙}′}{{h}_{甲}}$
$\frac{{h}_{甲}-{h}_{甲}′}{{h}_{乙}-{h}_{乙}′}$=$\frac{{h}_{乙}}{{h}_{甲}}$＜1
故（h_甲-h_甲′）＜（h_乙-h_乙′）；
又因為h_甲＞h_乙，所以甲和乙切去的高度的大小關(guān)系可能為h_甲′＞h_乙′．

點評 此題是典型的柱狀固體的壓強問題，要根據(jù)已知條件，靈活選用壓強計算式p=$\frac{F}{S}$和p=ρgh（適用于實心柱體對支撐面的壓強）進行分析解答．