Question

19．如圖甲所示，水平直線MN下方有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，現(xiàn)將一重力不計(jì)、比荷υ-t=10⁶C/kg的正電荷置于電場(chǎng)中的O點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)過(guò)W_G≠0×10^-5s時(shí)間電荷以Q=fs_相對(duì)=1.5×10⁴m/s的速度通過(guò)MN進(jìn)入其上方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向與紙面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B按圖乙所示規(guī)律周期性變化（圖乙中磁場(chǎng)以垂直紙面向外為正，以電荷第一次通過(guò)MN時(shí)為t=0時(shí)刻）．不考慮磁場(chǎng)變化產(chǎn)生的電場(chǎng)（sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；
（2）圖乙中t=s_相對(duì)＞s₁+s₂×10^-5s時(shí)刻電荷與O 點(diǎn)的水平距離；
（3）如果在O點(diǎn)正右方d=32cm處有一垂直于MN的足夠大的擋板，求電荷從第一次進(jìn)入磁場(chǎng)開(kāi)始到達(dá)擋板需要的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）電荷在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律結(jié)合可求出電場(chǎng)強(qiáng)度E．
（2）電荷進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分別求出電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑和周期，畫(huà)出軌跡，由幾何關(guān)系求出t=$\frac{4π}{5}$×10^-5s時(shí)刻電荷與O點(diǎn)的水平距離．
（3）電荷在周期性變化的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)周期性分析電荷到達(dá)檔板前運(yùn)動(dòng)的完整周期數(shù)，即可求出荷沿ON運(yùn)動(dòng)的距離．根據(jù)電荷擋板前的運(yùn)動(dòng)軌跡，求出其運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即得總時(shí)間．

解答 解：（1）電荷在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
設(shè)其在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式得：v₀=at₁，
由牛頓第二定律得：qE=ma，代入數(shù)據(jù)解得：
E=7.2×10³N/C，
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
當(dāng)磁場(chǎng)垂直紙面向外時(shí)，電荷運(yùn)動(dòng)的半徑：r₁=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$，
做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：r₁=0.05m=5cm，T₁=$\frac{2π}{3}$×10^-5s，
當(dāng)磁場(chǎng)垂直紙面向里時(shí)，電荷運(yùn)動(dòng)的半徑：
r₂=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}$，周期：T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：r₂=0.03m=3cm，T₂=$\frac{2π}{5}$×10^-5s
故電荷從t=0時(shí)刻開(kāi)始做周期性運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
t=$\frac{4π}{5}$×10^-5s時(shí)刻電荷與O點(diǎn)的水平距離：△d=2（r₁-r₂）=4cm  
（3）電荷從第一次通過(guò)MN開(kāi)始，其運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{4π}{5}$×10^-5s根據(jù)電荷的運(yùn)動(dòng)情況可知，電荷到達(dá)檔板前運(yùn)動(dòng)的完整周期數(shù)為6個(gè)，
則電荷沿ON運(yùn)動(dòng)的距離：s=6△d=6×4=24cm，
；
故最后32-24=8cm的距離如圖所示，有：r₁+r₁cosα=d-s，
即：r₁+r₁cosα=32cm-24cm=8cm，
即r₁+r₁cosα=8cm，解得：cosα=0.6，α=arccos0.6≈53°，
故電荷運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t_總=t₁+$\frac{1}{2}$T₁-$\frac{α}{360°}$T₁+6T，
已知t₁=$\frac{π}{15}$×10^-5s，
所以t_總=1.5×10^-4s．
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E為7.2×10³N/C．
（2）t=$\frac{4π}{5}$×10^-5s時(shí)刻電荷與O點(diǎn)的水平距離為4cm；
（3）電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板的時(shí)間1.5×10^-4s．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，電荷在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合研究是最常用的方法，也可以由動(dòng)量定理處理．電荷在周期性磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，要抓住周期性即重復(fù)性進(jìn)行分析，根據(jù)軌跡求解時(shí)間．