Question

14．A、B、C是由密度為ρ=3.0×10³kg/m³的某種合金制成的三個實心球，A球的質(zhì)量m_A=90g；甲和乙是兩個完全相同的木塊，其質(zhì)量m_甲=m_乙=340g；若把B和C掛在輕質(zhì)杠桿兩端，平衡時如圖1所示，其中MO：ON=3：1．若用細(xì)線把球和木塊系住，放入底面積為400cm²的圓柱形容器中，在水中靜止時如圖2所示．在圖2中，甲有一半體積露出水面，乙浸沒水中（水的密度為1.0×10³kg/m³，g取10N/kg，杠桿、滑輪與細(xì)線的質(zhì)量以及它們之間的摩擦忽略不計）．
（1）求A球體積和甲木塊的體積、密度？
（2）求B和C的質(zhì)量各為多少Kg？
（3）若將A球與甲相連的細(xì)線以及B球與乙相連的細(xì)線都剪斷，甲和乙重新靜止后，水對容器底部的壓強變化了多少？

Answer 1

分析 （1）知道A求的質(zhì)量和密度，根據(jù)ρ=$\frac{m}{V}$求出A球的體積，把甲木塊和A求出看作整體、整體漂浮，根據(jù)漂浮條件得出等式即可求出甲木塊的體積，根據(jù)ρ=$\frac{m}{V}$求出甲球的密度；
（2）根據(jù)杠桿平衡條件結(jié)合動滑輪的特點列出關(guān)系式；根據(jù)圖2，將乙、B、C看做一個整體，根據(jù)懸浮時浮力與重力相等，列出關(guān)系式；將兩個關(guān)系式聯(lián)立并代入已知條件便可求出；
（3）將A球與甲相連的細(xì)線剪斷，A沉底，甲上浮后漂浮，水面下降，根據(jù)物體浮沉條件和阿基米德原理求出甲木塊排開水的體積，然后求出甲引起水體積的變化量，將B球與乙相連的細(xì)線剪斷，B、C沉底，乙先上浮后漂浮，水面下降，此時乙排開水的體積與甲相同，進一步求出乙引起水體積的變化量，根據(jù)V=Sh求出水面下降的高度，根據(jù)p=ρgh求出水對容器底部的壓強變化量．

解答 解：（1）由ρ=$\frac{m}{V}$可得，A球的體積：
V_A=$\frac{{m}_{A}}{ρ}$=$\frac{90×1{0}^{-3}kg}{3.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=3×10^-5m³，
因甲木塊與A球整體漂浮，
所以，G_甲+G_A=F_浮總，
即m_甲g+m_Ag=ρ_水g（0.5V_甲+V_A）
則V_甲=2（$\frac{{m}_{甲}+{m}_{A}}{{ρ}_{水}}$-V_A）=2（$\frac{0.34kg+0.09kg}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$-3×10^-5m³）=8×10^-4m³，
甲球的密度：
ρ_甲=$\frac{{m}_{甲}}{{V}_{甲}}$=$\frac{0.34kg}{8×1{0}^{-4}{m}^{3}}$=0.425×10³kg/m³；
（2）由圖1知，杠桿平衡條件：
2m_Bg•ON=m_Cg•OM，
因MO：ON=3：1
所以，m_B=$\frac{OM}{2ON}$m_C=1.5m_C，
由圖2知，乙、B、C懸浮在水中，將乙、B、C看做一個整體，則：
ρ_水g（V_乙+V_B+V_C）=G_乙+G_B+G_C
即：1.0×10³kg/m³×10N/kg×（8.0×10^-4m³+$\frac{{m}_{B}}{ρ}$+$\frac{{m}_{C}}{ρ}$）=3.4N+m_B×10N/kg+m_C×10N/kg
則：1.0×10³kg/m³×（8.0×10^-4m³+$\frac{1.5{m}_{C}}{3×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$+$\frac{{m}_{C}}{3×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$）=0.34kg+1.5m_C+m_C
解得：m_C=0.276kg，
m_B=1.5m_C=1.5×0.276kg=0.414kg；
（3）將A球與甲相連的細(xì)線剪斷，A沉底，甲上浮后漂浮，水面下降，
因甲木塊漂浮，
所以，G_甲=F_浮甲，
即m_甲g=ρ_水gV_排甲
則V_排甲=$\frac{{m}_{甲}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{340g}{1.0g/c{m}^{3}}$=340cm³=3.4×10^-4m³，
甲引起水體積的變化量：
△V_甲=$\frac{1}{2}$V_甲-V_排甲=$\frac{1}{2}$×8×10^-4m³-3.4×10^-4m³=6×10^-5m³，
將B球與乙相連的細(xì)線剪斷，B、C沉底，乙先上浮后漂浮，水面下降，此時乙排開水的體積與甲相同，
則乙引起水體積的變化量：
△V_乙=V_乙-V_排乙=V_甲-V_排甲=8×10^-4m³-3.4×10^-4m³=4.6×10^-4m³，
容器內(nèi)水下降的體積：
△V=△V_甲+△V_乙=6×10^-5m³+4.6×10^-4m³=5.2×10^-4m³，
容器內(nèi)水下降的深度：
△h=$\frac{△V}{S}$=$\frac{5.2×1{0}^{-4}{m}^{3}}{400×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.013m，
水對容器底部的壓強變化量：
p=ρ_水g△h=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.013m=130Pa．
答：（1）A球體積為3×10^-5m³，甲木塊的體積為8×10^-4m³、密度為0.425×10³kg/m³；
（2）B和C的質(zhì)量依次為0.414kg、0.276kg；
（3）若將A球與甲相連的細(xì)線以及B球與乙相連的細(xì)線都剪斷，甲和乙重新靜止后，水對容器底部的壓強變化了130Pa．

點評 本題考查了杠桿平衡條件的應(yīng)用及浮力公式的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是掌握杠桿平衡條件，將圖2中的物體作為一個整體，根據(jù)浮力和重力相等的關(guān)系列出關(guān)系式，同時涉及到了密度的知識．